Главная | Обратная связь

Вариация какого признака больше?

СТАТИСТИКА

Типовые задачи и вопросы для подготовки к госэкзамену

Одна из важнейших задач статистики – анализ динамики.

Анализ динамики (т.е. изменения уровней изучаемого явления во времени) может проводиться с помощью цепных(по сравнению с предшествующим уровнем) или базисных (по сравнению с постоянным уровнем, принятым за базу сравнения) показателей динамики.

Среди них – абсолютный прирост – разность двух уровней ряда,

- темп роста – отношение двух уровней ряда,

- темп прироста ( можно определить как темп роста минус 1 или темп роста в % минус 100 ) .

Основным показателем является темп роста, как наиболее универсальный.

Базисный темп роста можно найти как произведение цепных темпов роста за соответствующий период ( и наоборот).

Пример 1: Уровень цен в январе по сравнению с декабрём снизился на 2%, в феврале по сравнению с январём вырос на 3%, а в марте к февралю увеличение составило 4%. Определить изменение цен за 1 квартал.

Темп роста январь/декабрь = 0,98 (98%)

Темп роста февраль/ январь = 1,03 (103%) ––– цепные

Темп роста март/февраль = 1,04 (104%)

Темп роста базисный = произведение темпов роста цепных

Темп роста 1 квартала = 0,98 * 1,03* 1,04 = 1,05 –– за квартал цены выросли на 5%.

 

Пример 2 : За второй квартал объем реализации увеличился на 10%, а за первое полугодие – на 3%. Определить изменение объема реализации за первый квартал.

Темп роста 1 п/г = темп роста 1 кв. * темп роста 2 кв. => Тр1 кв = Тр. 1 п/г / Тр 2 кв = 1,03 / 1,1 = 0,936 (93,6%) – в первом квартале объем реализации снизился на 6,4%.

 

Аналогичный прием можно применять при укрупненной оценке, анализе и планировании с помощью индексов, которые увязываются в модель в соответствии с экономическим смыслом и взаимосвязями изучаемых показателей. (В расчетах используются только умножение или деление, так как речь идет об относительных величинах!)

 

Пример 3 : Как изменится коэффициент оборачиваемости, если планируется увеличить объем реализации на 20 % при уменьшении средних остатков оборотных средств на 5 % ?

Т.к. Коб = РП / ОС, его изменение можно определить через индексы –

Индекс изменения Коб = Индекс изменения объема РП / Индекс изменения стоимости ОС = 1,2 / 0,95 =

= 1,263 или 126,3 % . Следовательно, коэффициент оборачиваемости увеличился на 26,3 % .

 

Один из самых распространенных приемов обобщенной оценки количественных данных – осреднение (т.е. нахождение среднего значения). Для этого применяются различные виды степенных средних, самой распространенной из которых является средняя арифметическая.

Она может быть рассчитана как простая (если данные не повторяющиеся), или как взвешенная - при повторяющихся или сгруппированных данных, имеющих разные частоты.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств, которые позволяют упростить расчеты.

 

Например, если все индивидуальные значения признака уменьшить в 10 раз, а частоты – в 5 раз, то средняя величина также уменьшится в 10 раз. (По свойствам средней арифметической, изменение частот не влияет на её величину, тогда как изменение всех индивидуальных значений изменяет среднюю пропорционально).

 

В ряде случаев вместо средней арифметической используют другие виды средних (например, среднюю квадратическую при расчете показателей вариации, или среднюю гармоническую при расчете средних индексов).

Если необходимо найти среднее значение из относительных величин (например, средний темп роста), используют среднюю геометрическую.

 

В дополнение к средней арифметической могут использоваться так называемые структурные (или распределительные) средние – мода ( Мо ) и медиана ( Ме ) . Они характеризуют структуру изучаемой совокупности. Мода – это значение признака, чаще всего встречающееся в данном массиве. Медиана – такое значение признака, которое делит ранжированный вариационный ряд пополам.

Способность признака принимать различные значения у отдельных единиц совокупности называется вариацией. Её оценка – ещё одна из задач статистического анализа.

Вариацию количественного признака в различных совокупностях можно сравнить с помощью коэффициента вариации (v), который рассчитывается следующим образом:

 

σ среднеквадратическое отклонение

v = ––– х 100 = –––––––––––––––––––––––––––––– x 100

x среднее значение признака

 

Пример 4 : Средний возраст студентов дневной формы обучения – 20 лет при среднеквадратическом отклонении 1,5 года, а средний балл – 4,0 при среднекв. отклонении 0,5 балла.

Вариация какого признака больше?

 

1,5

v₁=––––––х100 = 7,5 %

 

 

0,5

v₂=––––––х100 = 12,5 %

4,0

Следовательно, вариация среднего балла выше чем вариация среднего возраста.

 

Вариацию качественного признака можно оценить с помощью дисперсии альтернативного признака. Она рассчитывается как произведение долей, дополняющих друг друга до единицы. Долю единиц совокупности, удовлетворяющую предъявляемым требованиям, обозначают какp, долю остальных единиц совокупности – как q .

Дисперсия доли = p*q = p*( 1– p ), где p+q = 1

 

Пример 5 : При проведении маркетингового исследования на вопрос о возможности приобретения товара А 20% респондентов дали положительный ответ. Какова дисперсия доли?

Дисперсия доли = p*( 1– p ) = 0,2 * (1-0,2) = 0,16.

 

* Чаще всего необходимость в оценке вариации возникает при проверке типичности среднего значения, а так же при оценке ошибки выборочного наблюдения, являющегося основным способом не сплошного статистического исследования.

 

Пример 6 : Какова ошибка выборочного наблюдения (см. пример из задания 2.), если было опрошено 100 человек?

Средняя ошибка = выборки	√	Дисперсия доли	= μp = √	P*( 1– p )	=√	0.2 * (1-0.2)
Объем выборки	n
=√	0.16	= 0,04 ( или 4%)

 

Пример 7 : Какова ошибка выборки, если проведено 400 наблюдений , в результате которых определена средняя цена товара Х - 1500 руб. при среднем отклонении 200 руб.?.

Средняя ошибка = выборки	√	Дисперсия количественного признака	= μ = √	σ2	=√	200 2	=√100= 10 руб.
Объем выборки	n

 

Пример 8 : При выборочном контроле качества было определено, что доля годной продукции – 95%. Ошибка выборки – 2%. Определите % годной продукции во всей выпущенной партии.

С вероятностью 0,683 можно утверждать, что % годной продукции во всей партии составит

95%+2%, т.е. не менее 93% и не более 97%.

Если необходимо определить диапазон значений генеральной характеристики с большей степенью вероятности, то используют предельную ошибку, которая чаще всего устанавливается в следующих пределах:

- с вероятностью 0,954 генеральная характеристика равна выборочной + удвоенная средняя ошибка,

- с вероятностью 0,997 - + средняя ошибка, увеличенная втрое.

Т.е., по условиям данной задачи, годная продукция с вероятностью 0,997 составит не менее 89 %

(95 % + 2 % * 3 ). Верхний предел в данном случае не оговаривается.

* В заданиях 7. и 8. расчет средней ошибки выборки осуществлен по формулам для повторной схемы отбора. Если же схема отбора бесповторная, то при расчете средней ошибки выборки в подкоренное выражение вводится дополнительный множитель ( 1 – n/N ). Бесповторная схема отбора позволяет снизить ошибку выборки.

Так, например, при 10 % -ном отборе этот множитель равен ( 1 – 0,1 ) = 0,9 , а √ 0,9 = 0,949 , т.е. при бесповторной схеме ошибка будет меньше почти на 5 %, чем при повторной схеме.