Вопрос 1. Понятие комплексного числа. Основные операции над комплексными числами в алгебраической форме

ТЕМА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1. Понятие комплексного числа. Основные операции над комплексными числами в алгебраической форме.

2. Модуль и аргумент. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формулы Муавра.

3. Показательная форма комплексного числа.

Одна из причин, которые приводят к необходимости расширения понятия действительного числа, связана с решением квадратных уравнений. Например, даже такое, на первый взгляд простейшее, квадратное уравнение, как , не имеет действительного решения. Не существует ни одного действительного числа а, такого, чтобы

Итальянские математики XVI века Кардана и Р. Бомбелли, решая квадратные уравнения вида ввели в рассмотрение символ , который уже в XVIII веке петербургский математик Л. Эйлер обозначил через . Формальное решение уравнения

(1)

при использовании этого символа сводится к тому, что .

Таким образом, возникает необходимость расширения множества действительных чисел до нового множества, такого, чтобы в этом множестве уравнения вида имели решения.

Однако понятие комплексного числа возникло в первую очередь в результате потребностей автоматизации вычислений.

Даже простейшие операции над действительными числами выводят за пределы области действительных чисел.

Тем самым нужно было отказываться от автоматического применения установленных методов решения, либо каждый раз проводить подробное исследование возможности применения.

Замечательным свойством комплексных чисел является то, что основные математические операции не выводят из области комплексных чисел.

Комплексная форма удобна и при математической формулировке некоторых физических положений, например, в электро- и радиотехнике и т.д.

В теории электро- и радиотехнических цепей широко используется анализ цепей с применением комплексной формы действующих на них гармонических колебаний, причем такой анализ оказывается существенно проще, чем в исходном тригонометрическом виде.

Вопрос 1. Понятие комплексного числа. Основные операции над комплексными числами в алгебраической форме