ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Заряды q1= 3нКл и q2= -5 нКл находятся на расстоянии r = 6см друг от друга. Определить напряженность Е и потенциал φ в точке, находящейся на расстоянии a = 3 см от первого заряда и d = 4 см от второго заряда. Какой силой потребуется удержать в этой точке заряд q 3 = 1нКл? Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей и полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Напряженность электрического поля, создаваемого в воздухе (ε = 1) зарядом q1, равна зарядом q2 -
Вектор направлен по силовой линии от заряда, так как заряд q1 положителен; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду q2 , так как заряд q2 отрицателен. Абсолютное значение вектора Е найдтся по теореме косинусов: ,
где α - угол между векторами и , который может быть найден из треугольника со сторонами r, a, d: В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение cos α вычислить отдельно: ≈ 046 Подставляя выражения и в и вынося общий множитель за знак корня, можно получить:
Силу F, которая потребуется, чтобы удержать заряд в точке В, находят по формуле Потенциал j результирующего поля, создаваемого двумя зарядами q1 и q2 , равен алгебраической сумме потенциалов, т.е. Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом q на расстоянии r от него, выражается формулой В данном случае выразится как:
Ответ:
Пример 2. Пластины плоского конденсатора, заряженные зарядом q= 15нКл, притягиваются в воздухе с силой F= 600мкН. Определить площадь пластин конденсатора.
Решение. Заряд q одной пластины находится в поле напряженностью Е1 , созданном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила Так как , где σ - поверхностная плотность заряда пластины, то . Тогда Ответ: Пример 3. Заряд величиной 1 нКл переносится из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 0,1 м от поверхности металлической сферы радиусом 0,1 м, заряженной с поверхностной плотностью . Определить работу перемещения заряда Дано: . Найти: A. Решение. Потенциал поля , создаваемого заряженной сферой на расстоянии от ее центра, определяется по формуле: , где заряд сферы; электрическая постоянная. Потенциал поля на расстоянии равен нулю: . Работа А по перемещению заряда q из бесконечности в точку поля равна: Ответ:
Пример 4. Энергия плоского воздушного конденсатора 40 нДж, разность потенциалов на обкладках 600 В, площадь пластин 1 см2. Определить расстояние между обкладками, напряженность и объемную плотность энергии поля конденсатора. Дано: . Найти: Решение. Энергия конденсатора ; емкость конденсатора , следовательно, . Отсюда . Напряженность поля конденсатора Объемная плотность энергии поля: Ответ: ; ; .
Пример 5. Электрон, обладающий кинетической энергией Т1= 10эВ, влетел в однородное электрическое поле с напряженностью Е= 10В/м в направлении поля и прошел в нем расстояние r= 50 см. Определить скорость электрона в конце указанного пути. Решение. В соответствии с определением вектора напряженности электрического поля , на электрон, влетевший в направлении вектора напряженности поля, действует сила , направленная противоположно движению. Следовательно, электрон тормозится под действием этой силы. На пути движения электрона электрическое поле совершает работу А. , где е - заряд электрона; е = 1,6٠10-19Кл.U - разность потенциалов на пути движения. Работа сил электрического поля, затраченная на изменение кинетической энергии электрона , где Т1, Т2 - кинетические энергии электрона до и после прохождения замедляющего поля. Кинетическая энергия электрона в конце пути , где me - масса электрона; υ2 - скорость электрона в конце пути. Учитывая однородность электрического поля можно написать, что: Воспользовавшись указанными формулами, можно получить: Тогда скорость электрона в конце пути
Ответ: Пример 6. На концах медного провода длиной l = 5м поддерживается напряжение U= 1В. Определить плотность тока j в проводе. Решение. По закону Ома в дифференциальной форме Удельная проводимость γ определяется как , где ρ - удельное сопротивление меди Напряженность электрического поля внутри проводника согласно формуле, связывающей разность потенциалов (напряжение) и напряженность в однородном электрическом поле выражается формулой Используя вышеуказанные формулы: Ответ:
Пример 7. Определить электрический заряд, прошедший через поперечное сечение провода сопротивлением R= 3Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U1= 2В до U2= 4В в течение Δt= 20с. Решение. В соответствии с законом Ома переменное напряжение вызывает в проводнике переменный ток. По определению силы тока , отсюда , где dq - количество электрического заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника за бесконечно малый промежуток времени dt, I - мгновенное значение силы переменного тока. По закону Ома , где U - мгновенное значение напряжения. При равномерном нарастании напряжения его мгновенное значение в момент времени t равно , где k - скорость нарастания напряжения, равная приращению напряжения за единицу времени. При равномерном нарастании В/ с Используя вышеуказанные формулы, можно вычислить Заряд q, прошедший через поперечное сечение провода за конечный промежуток времени от t1 от t1= 0с, до t2= 20с определяется как: Подставляем значения k, t2 и R: Кл Ответ: q=6,67 Кл
Пример 8. Сила тока в проводнике сопротивлением R= 20Ом нарастает в течение времени Δt= 2с по линейному закону от I0= 0 до I= 6А. Определить теплоту Q1, выделившуюся в этом проводнике за первую и Q2 - за вторую секунды, а также найти отношение . Решение. По закону Джоуля-Ленца Здесь сила тока является некоторой функцией времени: , где k - коэффициент пропорциональности, численно равный приращению силы тока в единицу времени. При линейном законе A/ с Тогда и При определении теплоты, выделившейся за первую секунду, пределы интегрирования t1= 0, t2= 1 c и, следовательно, Дж При определении теплоты Q2 пределы интегрирования t1= 1, t2= 2 c и Дж. Следовательно, т.е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую.
Пример 9. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной a = 10см течет ток силой I = 100A. Найти магнитную индукцию в точке пересечения диагоналей квадрата. Решение. Квадратный виток расположен в плоскости чертежа. Согласно принципу суперпозиции магнитных полей магнитная индукция поля квадратного витка будет равна геометрической сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждой стороной квадрата в отдельности: В точке О пересечения диагоналей квадрата все векторы индукции для указанного на рис. тока будут направлены перпендикулярно плоскости витка «к нам». Кроме того, из соображений симметрии следует, что абсолютные значения этих векторов одинаковы: . Это позволяет векторное равенство заменить скалярным равенством Магнитная индукция В1 поля, создаваемого отрезком прямолинейного провода с током, выражается формулой Учитывая, что и , формулу можно переписать в виде и учитывая, что В=4В1 Здесь и (так как ), и тогда В. Подставив в эту формулу числовые значения физических величин, для В получится значение: Tл. Пример 10. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 400В, попал в однородное магнитное поле напряженностью H = 103А/м. Определить радиус R кривизны траектории и частоту n обращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля. Решение. Радиус кривизны траектории электрона можно определить, исходя из следующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца (действием силы тяжести можно пренебречь). Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости и, следовательно, сообщает электрону нормальное ускорение: или , где е - заряд электрона, υ - скорость электрона, В- магнитная индукция, m - масса электрона, R - радиус кривизны траектории, α - угол между направлением вектора скорости и вектором (в данном случае и α = 90°, sinα = 1) Тогда для R находится формула: Входящий в это равенство импульс mυ может быть выражен через кинетическую энергию Т электрона: Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется равенством Подставив это выражение Т в выражение для получится выражение: Магнитная индукция В может быть выражена через напряженность Н магнитного поля в вакууме , где μ0 - магнитная постоянная. Используя полученные выражения можно определить R в виде: Здесь: m=9,11٠10‑31 кг, e = 1,60٠10-19 Кл, U = 400 В, μ0 = 4π٠10-7 Гн/м, Н = 103 А/м. м = 5,37см Для определения частоты обращения n можно воспользоваться формулой, связывающей частоту со скоростью и радиусом: С учетом получится: c-1 Ответ:
Пример 11. В однородном магнитном поле (В = 0,1 Тл) равномерно с частотой n = 10об/с вращается рамка, содержащая N = 1000 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S = 150см2. Определить мгновенное значение Э.Д.С. индукции , соответствующее углу поворота рамки 30°. Решение. Мгновенное значение Э.Д.С. индукции определяется основным уравнением электромагнитной индукции
При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рамку в момент времени t, изменяется по закону , где В- магнитная индукция, S - площадь рамки, ω - круговая (циклическая) частота. Продифференцировав по времени Ф, можно найти мгновенное значение Э.Д.С. индукции в виде:
Учитывая, что частота ω связана с частотой вращения n соотношением , получится как: По условию задачи: n= 10c-1; N = 103; B = 0,1 Tл; S = 1,5٠10-2 м2; ωt = 30° = и, подставив их в можно найти: В Ответ: Пример 12. Соленоид без сердечника имеет плотную однослойную намотку провода диаметром 0,2 мм и по нему течет ток 0,1 А. Длина соленоида 20 см, диаметр 5 см. Найти энергию и объемную плотность энергии магнитного поля соленоида. Дано: . Найти: . Решение. Энергия магнитного поля соленоида , где индуктивность соленоида, ; магнитная постоянная; n – число витков на 1 м длины соленоида, при плотной намотке ; длина соленоида; площадь сечения соленоида. Тогда: .
Объемная плотность энергии определяется по формуле: Ответ: ; .
Пример 13. Конденсатору емкостью 40 мкФ сообщен заряд 0,3 мКл, после чего его замыкают на катушку с индуктивностью 0,1 Гн. Пренебрегая сопротивлением контура, найти законы изменения напряжения на конденса торе и силы тока в цепи. Дано: . Найти: . Решение. В отсутствие омического сопротивления свободные колебания в контуре описываются уравнением (1) где циклическая частота колебаний. Решение уравнения (1) имеет вид , (2) где начальная фаза колебаний. Поскольку в начальный момент времени заряд конденсатора , то и, следовательно, . Напряжение на конденсаторе (3) а сила тока в цепи (4) Числовые значения, получатся как: Таким образом,
Ответ: .
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|