Главная | Обратная связь

СЛУЧАЙ СИНОНИМИЧНЫХ ЯЗЫКОВ

Во многих случаях новое понимание возникает только благодаря использованию для описания другого языка, даже если при этом не добавляется никакой новой, так называемой «объективной» информации. Поясним это отношение на примере двух доказательств одной математической теоремы.

Каждый школьник знает, что (a + b)² = a² + 2ab + b² . Может быть, он знает и то, что это первый шаг в разделе математики, который называется теорией биномов. Само это равенство достаточно хорошо иллюстрируется алгоритмом алгебраического умножения, каждый шаг которого находится в соответствии с определениями и постулатами тавтологии, называемой алгеброй – тавтологии, предмет которой состоит в расширении и анализе понятия «каждый».

Но многие школьники не знают, что это биномиальное равенство имеет геометрическое доказательство (см. рис. 6). Рассмотрим отрезок XY, состоящий из двух частей, a и b. Этот отрезок геометрически представляет число (a+ b), а площадь квадрата, построенного на XY, равна (a + b)², что и называется возведением в квадрат.

Этот квадрат можно теперь разделить, отложив длину а вдоль отрезка XY и вдоль одной из прилежащих сторон квадрата и проведя соответствующие прямые параллельно его сторонам. Теперь школьник может заметить, что квадрат разделен на четыре части, а именно, что он состоит из двух квадратов, один из которых имеет площадь а², а другой b², и из двух прямоугольников, каждый из которых имеет площадь (a × b) (и, следовательно, общую площадь 2ab).

Таким образом, известное алгебраическое равенство (a + b)² = a² + 2ab + b² оказывается, по-видимому, верным и в евклидовой геометрии. Но, конечно, вряд ли можно было рассчитывать, что отдельные части равенства (a + b)² = a² + 2ab + b² будут отчетливо отделены друг от друга и в переводе на язык геометрии.

 

 

Но что это значит? По какому праву мы подставиливместо а так называемую «длину» и другую длину вместо b, а затем предположили, что при их соединении получится отрезок (a + b), и так далее? Можем ли мы быть уверены, что длины отрезков подчиняются арифметическим правилам? Чему научился школьник, узнав формулировку этого старого равенства на новом языке?

В некотором смысле, ничего не добавилось. Когда я показал, что равенство (a + b)² = a² + 2ab + b² выполняется не только в алгебре, но и в геометрии, не было получено никакой новой информации и не было понято ничего нового.

Но значит ли это, что язык как таковой не содержит информации?

Даже если в результате этого небольшого математического фокуса с математической точки зрения ничего не добавилось, я все же убежден, что от знакомства с ним школьник сможет кое-чему научиться. Это вклад в дидактический метод. Открытие (если это открытие), что два языка (алгебра и геометрия) могут переводиться с одного на другой, само по себе является откровением.

Может быть, следующий математический пример поможет читателю лучше понять, что достигается при использовании двух языков.[18]

Спросите своих друзей «Чему равна сумма первых десяти нечетных чисел?»

Вероятно, они скажут, что они этого не знают, или начнут складывать ряд чисел:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19.

Покажите им, что:

Сумма первого нечетного числа равна 1.

Сумма первых двух нечетных чисел равна 4.

Сумма первых трех нечетных чисел равна 9.

Сумма первых четырех нечетных чисел равна 16.

Сумма первых пяти нечетных чисел равна 25

И так далее.

Довольно скоро ваши друзья скажут что-нибудь вроде «Тогда сумма первых десяти нечетных чисел должна быть равна 100». Они научились этому трюку, позволяющему складывать последовательности нечетных чисел.

Но попросите их объяснить, почему этот трюк обязательно должен работать, и средний человек, если он не математик, не сможет ответить. (А наше начальное образование таково, что многие не будут даже знать с чего начать, чтобы получить ответ).

В данном случае нужно было заметить различие между порядковым номером данного нечетного числа и его количественным значением, то есть различие в логическом типе! Мы привыкли к тому, что название чисел всегда совпадает с их численным значением.[19] Но в данном случае, имя – это, конечно, не то же самое, что объект, который оно обозначает.

Сумма первых трех нечетных чисел равна 9, то есть квадрату порядкового имени наибольшего числа в последовательности, которую необходимо просуммировать (в нашем случае, порядковое имя 5 – «3»). Или, если хотите, это квадрат числа чисел в этой последовательности. Вот словесное выражение описанного трюка.

Чтобы доказать, что этот трюк будет работать, мы должны показать, что разность между двумя последовательными суммами нечетных чисел всегда равна разности между квадратами их порядковых имен.

Например, сумма первых пяти нечетных чисел минус сумма первых четырех нечетных чисел должна равняться 5² – 4². В тоже время можно заметить, что разность между этими двумя суммами должна быть последним нечетным числом, добавленным к этому множеству. Иначе говоря, последнее добавленное число должно быть равно разности между квадратами.

Рассмотрим этот вопрос на зрительном языке. Мы должны показать, что при добавлении следующего нечетного числа к сумме предыдущих нечетных чисел эта сумма всегда возрастет ровно настолько, чтобы стать равной квадрату порядкового имени этого нечетного числа.

Представим первое нечетное число (1) одним квадратом:

 

 

Представим второе нечетное число (3) тремя квадратами:

 

 

 

Сложим эти два числа друг с другом:

 

 

 

Представим третье нечетное число (5) пятью квадратами:

 

 

 

Добавим это к предыдущей фигуре:

 

 

 

То есть, 4 + 5 = 9.

И так далее. Зрительное представление позволяет довольно легко объединить порядковые числа, количественные числа и закономерности суммирования рядов.

Итак, мы увидели, что использование геометрической метафоры оказалось весьма полезным для понимания того, как механический трюк превращается в закономерность. Что более важно, школьник осознал разницу между применением трюка и пониманием неизбежной истины, стоящей за этим трюком. И что еще более важно, школьник получил (может быть, не осознавая этого) опыт в переходе от рассуждений внутри арифметики к рассуждениям по поводу арифметики. Не числа, а число чисел.

Именно тогда, по словам Уоллеса Стивенса,

Виноград показался сочнее.

Лиса выскочила из норы.

СЛУЧАЙ ДВУХ ПОЛОВ

Однажды фон Нейман полушутя заметил, что для воспроизводства машин необходимое условие состояло бы в том, чтобы две машины действовали совместно.

Деление, сопровождаемое самовоспроизводством, безусловно является одним из основных признаков жизни, независимо от того, приводит ли это деление к размножению или росту, и биохимики уже знают в общих чертах процессы воспроизводства ДНК. Но затем начинается дифференциация – будь то (несомненно) случайное производство эволюционного разнообразия, или упорядоченная дифференциация в эмбриологии. Деление, по-видимому, должно чередоваться со слиянием – это общая истина, иллюстрирующая принцип обработки информации, которым мы теперь занимаемся, а именно: два источника информации (часто относящиеся к языкам разного рода) несравненно лучше, чем один.

На уровне бактерий и даже среди простейших, некоторых грибов и морских водорослей все гаметы кажутся тождественными; но у всех многоклеточных и растений, то есть организмов, стоящих выше уровня грибов, гаметы различаются своим полом.

Вначале возникает бинарная дифференциация гамет, из которых одна обычно подвижна, а другая неподвижна. Затем это приводит к дифференциации на два типа многоклеточных организмов, которые производят эти два рода гамет.

Наконец, у многих растений и паразитов животных наблюдаются еще болеее сложные циклы, что называется чередованием поколений.

Все эти уровни дифференциации, несомненно, связаны с информационной экономикой деления, слияния и полового диморфизма.

Итак, возвращаясь к самым примитивным формам деления и слияния, мы замечаем, что первый результат или вклад слияния в экономику генетической информации состоит, по-видимому, в некоторой проверке.

Процесс слияния хромосом в основном одинаков у всех растений и животных, и где бы он ни происходил, соответствующие цепочки вещества ДНК выстраиваются напротив друг друга и, в функциональном смысле, сравниваются. Если отличия между цепочками вещества из соответсвующих гамет слишком велики, то (так называемое) оплодотворение произойти не может.[20]

Во всем процессе эволюции слияние, являющееся центральным фактом полового размножения, выполняет функцию ограничения генетической изменчивости. Гаметы, по какой-либо причине (будь то мутация или что-нибудь иное) слишком отличающиеся от статистической нормы, имеют подавляющую вероятность встретиться при половом слиянии с более нормальными гаметами противоположного пола, и благодаря этой встрече крайние случаи отклонения будут исключены. (Заметим, между прочим, что эта потребность исключить отклонения плохо удовлетворяется при «кровосмесительных» браках между гаметами из близкородственных источников).

Но хотя одной из важных функций слияния гамет при половом размножении, по-видимому, является минимизация отклонений, необходимо также подчеркнуть противоположную функцию: увеличение фенотипического разнообразия. Слияние случайных пар гамет обеспечивает однородность, то есть хорошее перемешивание генофонда популяции. В то же время оно обеспечивает условия для создания любой жизнеспособной комбинации генов в пределах генофонда. Иначе говоря, любой жизнеспособный ген проверяется в сочетаниях с таким большим набором других генов, какое возможно в рамках соответствующей популяции.

Как это обычно бывает во всей панораме эволюции, мы обнаруживаем, что единичный процесс, подобно Янусу, имеет два противоположных аспекта. В данном случае, слияние гамет ограничивает индивидуальные отклонения и в то же время обеспечивает многочисленные рекомбинации генетического материала.