 |
|
Задачи заочного конкурса.
Заочный конкурс XXII Турнира Архимеда.
Оргкомитет Турнира Архимеда совместно с редакцией журнала «Математика» объявляет конкурс решения задач для учащихся 6—7 классов.
Победителей конкурса ждут призы редакции журнала “Математика” и Оргкомитета Турнира Архимеда. Решения просим выслать до 15 марта 2013 г. (по почтовому штемпелю) по адресу: 121165, Москва, ул. Киевская, 24, редакция журнала “Математика”, с пометкой на конверте: «Турнир» или на электронную почту info@arhimedes.org (просьба, в нем указывать и свой полный почтовый адрес).
В письмо следует также вложить конверт с маркой (и адресом школьника) – в нем будут высланы результаты проверки. В письме просим указать номер школы, класс, фамилию, имя, отчество учителя математики.
Дополнительную информацию о Турнирах Архимеда можно получить на сайте www.arhimedes.org.
Желаем успехов!
Задачи заочного конкурса.
ЗАДАЧА 1. Тринадцать гирь. Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно разложить на чашках весов так, что наступит равновесие. Верно ли, что все гири имеют один и тот же вес?
ЗАДАЧА 2. Старый сюжет.В Вашем распоряжении квадратный лист бумаги со стороной 20 см. Требуется вырезать из него квадрат площадью 80 см2. Лист можно перегибать, а затем разрезать ножницами по линиям сгиба.
ЗАДАЧА 3. Поливка огорода. В полдень папа и сын начинают наполнять водой пустой бак. Бак вмещает 16 больших вёдер или 20 маленьких вёдер воды. Папа приносит большое ведро каждые 4 мин, а сын маленькое ведро каждые 6 мин. После того как в бак попадает вода, включается насос, откачивающий из него воду для полива. Насос опорожняет бак за 80 мин. Через какое время после начала работы будет наполнена половина бака, если скорость работы насоса постоянна?
ЗАДАЧА 4. Плитки. В ящике плитки трёх цветов: красного, синего и белого. Требуется обклеить ими грани кубика так, чтобы на каждую грань было наклеено по 4 плитки (см. рис.), и плитки, с общей стороной были покрашены в разные цвета. Приведите пример такой раскраски. Сколько плиток каждого цвета может потребоваться для этого? Найдите все возможные ответы.
ЗАДАЧА 5. Ситуация на дороге.Расстояние по шоссе от пункта A до пункта B кратно 5 км. Автобус едет от A до B со скоростью 60 км/ч. Через каждые 5 км он делает остановку на 5 мин. Велосипедист проехал от A до B с постоянной скоростью за 1 час. В пути его обогнал автобус, потом он проехал мимо этого автобуса, стоящего на остановке, потом автобус снова его обогнал, и больше он с этим автобусом не встречался. Потратил ли автобус на путь из A в B больше 45 минут или меньше?
ЗАДАЧА 6. Кодовый штамп.На любом почтовом конверте есть индексная сетка и образец ввода цифр почтового индекса. Эта форма упрощает их распознавание автоматом с целью облегчения сортировки писем. Автомат проверяет каждую цифру индекса в отдельности. Проверки какого количества трафаретных линей необходимо и достаточно автомату чтобы определить цифру? Какие именно линии необходимо проверить?
ЗАДАЧА 7. Четырёхзначное число. Математик задумал четырёхзначное число, сложил его с «симметричным» ему числом и в сумме получил 11440. Найдите хотя бы одно число, обладающее этим свойством. Сколько таких чисел существует?
ЗАДАЧА 8. Волшебная ёлкаукрашена гирляндами, составленными из 2013 золотых, серебряных и медных колец. Некоторые кольца, сделанные из разных металлов, соединены проволокой попарно, причём каждое кольцо соединено с одинаковым числом других. Обязательно ли найдётся золотое кольцо, непосредственно соединенное с серебряным и медным кольцами?