Главная | Обратная связь

Змістовий модуль 2.

1.У трикутнику АВС вектор і вектор . Побудувати вектори:

4) , 2) , 3) , 4) .

2.Задано вектори і . Визначити координати векторів :

1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) .

3.При яких значеннях α і β вектори і колінеарні?

4.Довести, що точки А(3; -1; 2), В(1; 2; -1), С(-1; 1; -3), D(3; -5; 3) є вершинами трапеції.

5.Дано вектори і . Розкласти вектор по базису і .

6.Дано чотири вектори , , і . Розкласти кожний з цих векторів, приймаючи за базис три інші вектори.

7.Дано точки і . На прямій знайти точку M, яка ділить відрізок у відношенні λ=3.

8.Дано вершини трикутника: А(1; 1; 1), В(5; 1; -2), С(7; 9; 1). Знайти координати точки D перетину бісектриси кута А зі стороною СВ.

9.На осі Ox знайти точку, рівновіддалену від точок А(2; -4; 5) і В(-3; 2; 7).

10.В якому відношенні точка М, рівновіддалена від точок А(3; 1; 4) і В(-4; 5; 3), поділить відрізок осі Oy від початку координат до точки С(0; 6; 0).

11.Дано вершини чотирикутника А(1; -2; 2), В(1; 4; 0), С(-4; 1; 1), D(-5; -5; 3). Довести, що його діагоналі АС і BD взаємно перпендикулярні.

12.Обчислити внутрішні кути трикутника АВС, якщо

1) А(1; 2; 1), В(3; -1; 7), С(7; 4; -2); 2) А(2; -1; 3), В(1; 1; 1), С(0; 0; 5).

13.Дано точки А(-2; 3; -4), В(3; 2; 5), С(1; -1; 2), D(3; 2; -4). Обчислити проекцію вектора на вектор .

14.Обчислити площу трикутника з вершинами:

1) А(7; 3; 4), В(1; 0; 6), С(4; 5; -2); 2) А(1; 2; 0), В(3; 0; -3), С(5; 2; 6).

15.Дано вершини трикутника: А(1; -2; 8), В(0; 0; 4), С(6; 2; 0). Обчислити його площу і висоту ВD.

16.Обчислити об’єм піраміди з вершинами у точках A, B, C, D та довжину висоти, опущеної на грань АВС, якщо:

1) А(5; 2; 0), В(2; 5; 0), С(1; 2; 4) , D(0; 0; 0); 2) А(2; 0; 0), В(0; 3; 0), С(0; 0; 6) , D(2; 3; 8).

17.Довести, що точки A, B, C, D лежать в одній площині, якщо:

1) А(2; -1; -2), В(1; 2; 1), С(2; 3; 0) , D(5; 0; -6); 2) А(1; 2; -1), В(0; 1; 5), С(-1; 2; 1) , D(2; 1; 3).

18.Об’єм тетраедра V=5, три його вершини знаходяться у точках А(2; 1; -1), В(3; 0; 1), С(2; -1; 3). Знайти координати четвертої вершини D, якщо відомо, що вона лежить на осі Oy.

1.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку M(-2; 5) і паралельна прямій 3x+4y+2=0.

2.Задано вершини трикутника А(2; 2), В(-2;-8) і С(-6;-2). Скласти рівняння його медіан.

3.Задано вершини трикутника А(0; 1), В(6; 5) і С(12;-1). Скласти рівняння висоти трикутника, проведеної з вершини С.

4.Задано вершини трикутника А(0; 0), В(–1; –3) і С(–5; –1). Скласти рівняння прямих, що проходять через вершини трикутника і паралельні до його сторін.

5.Визначити відстань від точки М(2; –1) до прямої, що відтинає на осях координат відрізки а=8, b=6.

6.Задано середини сторін трикутника А₁(–1; –1), В₁(1; 9) і С₁(9; 1). Скласти рівняння серединних перпендикулярів до сторін трикутника.

7.Задано вершини трикутника А(1; 1), В(4; 5) і С(13; –4). Скласти рівняння медіани, проведеної з вершини В, і висоти, опущеної з вершини С. Обчислити площу трикутника.

8.Задано сторони трикутника x–y=0 (АВ), x+y–2=0 (ВС), y=0 (АС). Скласти рівняння медіани, яка проходить через вершину В, і висоти, що проходить через вершину А.

9.Скласти рівняння трьох сторін квадрата, якщо відомо, що четвертою стороною є відрізок прямої 4x+3y–12=0, кінці якого лежать на осях координат.

10.Знайти кутовий коефіцієнт, загальне рівняння прямої і відрізки, що відтинаються нею на осях, якщо пряма проходить через точки: 1) А(2; –8) і В(–1; 7), 2) А(–1; 1) і В(–1; 5).

11.Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку M(2; 3) і відтинає на координатних осях відрізки однакової довжини.

12.Дано пряму 2x+3y+5=0. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку M(2; 1): 1) перпендикулярно до даної прямої; 2) паралельно до даної прямої.

13.Скласти рівняння прямих, проведених через вершини трикутника паралельно до протилежних сторін, якщо відомі рівняння сторін трикутника 5x–2y+6=0, 4x–y+3=0, x+3y–7=0.

14.Скласти рівняння висот трикутника, якщо задано рівняння його сторін:

1) 2x–y+3=0, x+5y–7=0, 3x–2y+6=0; 2) x+2y–1=0, 5x+4y–17=0, x–4y+11=0.

15.Задано середини сторін трикутника А₁(2; 1), В₁(5; 3) і С₁(3; –4). Скласти рівняння його сторін.

16.Задано сторони трикутника x+3y–7=0 (АВ), 4x–2y–2=0 (ВС), 6x+8y–35=0 (АС). Знайти довжину висоти, проведеної з вершини В.

17.Задано вершини трикутника А(1; 1), В(4; 2) і С(3;-1). Скласти рівняння бісектриси кута A.

18.Скласти рівняння сторін трикутника, якщо дано одну з його вершин В(–4; –5) і рівняння двох висот 5x+3y–4=0 і 3x+8y+13=0.

19.Відомі протилежні вершини квадрата А(–1; 3), С(6; 2). Скласти рівняння сторін квадрата.

20.Знайти координати вершин ромба, якщо відомі рівняння двох сторін x+2y–4=0, і x+2y–10=0, та рівняння діагоналі x–y+2=0.

21.Скласти рівняння кола, що проходить через точки А(1; 2), В(0; –1) і С(–3; 0).

22.Скласти рівняння кола, що проходить через точки А(7; 7), В(–2; 4), якщо його центр лежить на прямій 2x–y–2=0.

23.Скласти канонічне рівняння еліпса, що проходить через точки і .

24.Еліпс, віднесений до осей, проходить через точку M(1; 1) і має ексцентриситет ε=3/5. Скласти рівняння еліпса.

25.Ексцентриситет гіперболи дорівнює . Скласти канонічне рівняння гіперболи, яка проходить через точку .

26.Скласти рівняння гіперболи, яка проходить через точку M(9; 8), якщо рівняння асимптот гіперболи мають вигляд .

27.Знайти рівняння гіперболи, вершини і фокуси якої розташовані у відповідних фокусах і вершинах еліпса .

28.Через точку M(0; –1) і праву вершину гіперболи проведена пряма. Знайти другу точку перетину прямої з гіперболою.

29.Задано гіперболу . Знайти софокусний еліпс, який проходить через точку M(4; 6).

30.Задано еліпс . Записати рівняння софокусної рівнобічної гіперболи.

31.Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що її фокус знаходиться у точці перетину прямої 4x–3y–4=0 з віссю Ox.

32.Скласти рівняння параболи з вершиною у початку координат, симетричною відносно осі Ox, і яка відтинає від прямої y=x хорду довжиною .

33.Парабола відтинає від прямої, яка проходить через початок координат, хорду, довжиною 3/4. Скласти рівняння цієї прямої.