Уравнения плоской и сферической волн. Волновой фронт и волновой вектор.Стр 1 из 2Следующая ⇒
Волновое уравнение и уравнение плоской электромагнитной волны. Фазовая скорость волны. Отражение и преломление электромагнитных волн на границе двух сред. Согласование волновых сопротивлений. Ответ: Волновое уравнение, описывающее бегущую волну на струне. Решение уравнения. Волновое уравнение. Волна на струне является поперечной волной: смещение частиц струны происходит поперек направления распространения волны. Это показано на рис. 2-а. Волна распространяется в направлении оси 0x со скоростью с, смещение частиц струны происходит в направлении оси 0y со скоростью смещения частиц u.
Рис.2.
Рассмотрим динамику движения элемента колеблющейся струны длиной dl при малых амплитудах колебаний элемента струны(малых колебаниях). На рис. 2-б элемент dl представлен в крупном масштабе. Длина элемента определяется теоремой Пифагора: dl = . (1) Величина = tga, но при малых колебаниях угол a представляет малую величину, поэтому в (1) можно пренебречь ее квадратом. Таким образом, при малых колебаниях можно принять соотношение: dl = dx. Выделенный элемент струны длиной dl и массой dm перемещается в направлении оси 0y (волна поперечная). Ускорение элемента ay = . Если проекция результирующей силы натяжения в направлении оси 0y равна Fy, то 2-й закон Ньютона для выделенного элемента имеет вид: dm× ay = Fy . Выразим массу элемента через линейную (погонную) плотность r материала струны: dm = r dl = r dx. (2) На струну действует сила натяжения T. Эта сила при малых колебаниях практически постоянна по всей длине струны. Мы не будем учитывать незначительные изменения силы натяжения вследствие разной степени растяжения струны в разных ее точках. Итак, составляющая результирующей силы Fy в положительном направлении оси 0y равна (рис. 2-б): Fy = T sin(a + da) - T sina. (3) Угол a мал, поэтому sina = tga = . В этой связи соотношение (3) принимает вид: Fy = T - T = T . Индексы при производных указывают, в каких точках эти производные берутся. Разность в квадратных скобках есть приращение производной на длине dx: = = . Итак, сила, действующая на элемент струны в направлении оси 0y, равна Fy = T . (4) Используя (2) и (4), второй закон Ньютона dm× ay = Fy для элемента струны примет вид: r dx = T . После сокращения на dx, имеем: = . (5) Отношение имеет размерность квадрата скорости. Обозначим эту скорость через c, тогда уравнение (5) примет вид: = . (6) Уравнение (6) и есть волновое уравнение, описывающее распространение бегущей волны в струне, где c = (7) фазовая скорость распространения волны. Ниже при рассмотрении решения дифференциального уравнения (6) вернемся к понятию фазовой скорости. Здесь обратим внимание на то, что фазовая скорость является функцией натяжения T и инертных (плотность r) характеристик струны. Такая зависимость фазовой скорости присуща всем упругим волна – волнам в газе, жидкости, твердом теле. Например, скорость продольных акустических волн в металлических стержнях определяется формулой: c = , где E – модуль Юнга металла, r - объемная плотность металла. Скорость звука в газе определяется формулой: c = , где g - показатель адиабаты газа, P – давление в газе, r - плотность газа. Во всех приведенных примерах фазовая скорость определяется упругими и инертными свойствами среды. Уравнение бегущей волны как решение волнового уравнения. Решением уравнения (6) является любая функция вида y = f(ct – x) или y = f(ct + x) (убедитесь в этом, подставив, например, функцию f(ct – x) в (6)!). Знак минус соответствует волне, бегущей в положительном направлении оси 0x, знак плюс – в отрицательном направлении. Если вибратор, возбуждающий волну, совершает гармонические колебания, то в качестве решения следует, естественно, выбрать функцию синуса или косинуса. Выберем функцию синуса, тогда уравнение бегущей волны примет вид: y = а sin [ (ct – x) +j ]. (8) С формальной точки зрения множитель вставлен в решение (8) для того, чтобы аргумент синуса имел размерность угла. В содержательном отношении величина l - это длина волны, k = - волновое число, а – амплитуда волны, j - начальная фаза. Из произведения ( x) следует смысл длины волны l. При x = l фаза волны сдвигается на 2p, следовательно, длина волны l – это минимальное расстояние между двумя частицами струны, которые колеблются в фазе. Из соотношения = w = , где w – круговая частота колебания частиц струны и T – период колебания частиц, следует, что фазовая скорость равна c = . Фазовая скорость c = указывает, с какой скоростью распространяется бегущая волна по струне. Можно также сказать, что фазовая скорость c определяет скорость распространения некоторой фазы волны. Так как = kc = w, x = kx и с = , то уравнение бегущей волны (8) можно записать в виде y = а sin (wt - kx+j ), (9) или в виде y = а sin [w (t - ) +j ]. (10) Обратим внимание на то обстоятельство, что в аргументе уравнения бегущей волны (записанного в любой форме (8), (9) или (10)) отражены как пространственные, так и временные факторы волнового процесса. Если фиксировать координату x, то уравнение (9) описывает гармонические колебание элементов (частиц) струны в точке с этой координатой. Если фиксировать время t, то уравнение волны описывает пространственные смещения частиц струны по всей ее длине в этот момент времени (струна имеет форму синусоиды). Оба фактора – пространственный фактор и временной – совместно описывают бегущую волну в пространстве и времени. Уравнения плоской и сферической волн. Волновой фронт и волновой вектор. Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат х, у, zи времени t:
(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно времени t, так и относительно координат х, y, z. Периодичность по времени вытекает из того, что x описывает колебания частицы с координатами х, у, z. Периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстояние λ, колеблются одинаковым образом.
Найдем вид функции x, в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными к оси х и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: x= x(х, t). Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 (рис. 2.1), имеют вид x (х, t) =a cos (wt + a). Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до этой плоскости, волне требуется время t= x/υ(υ – скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости х= 0, т. е. будут иметь вид x (х, t) =a cos [ w ( t − t ) + a ] = a cos [ w ( t − x/υ ) + a ].
x = a cos [ w ( t − x/υ ) + a ] Величина a представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны a определяется выбором начал отсчета х и t. При рассмотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы a была равной нулю. При совместном рассмотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы равнялись пулю, как правило, не удается.
w ( t − x/υ ) + a = const
Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (2.3), получим
Таким образом, скорость распространения волны υ в уравнении (2.2) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.
x = a cos [ w ( t + x/υ ) + a ]
из которого следует, что волна (2.5) распространяется в сторону убывания х.
Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно х и t вид. Для этого введем величину
которая называется волновым числом. Волновой вектор— вектор, направление которого перпендикулярно фазовому фронту бегущей волны, а абсолютное значение равно волновому числу.Умножив числитель и знаменатель выражения (2.6) на частоту v, можно представить волновое число в виде (см. формулу (1.2)). Раскрыв в (2.2) круглые скобки и приняв во внимание (2.7), придем к следующему уравнению плоской волны, распространяющейся вдоль оси х:
Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается от (2.8) только знаком при члене kx. При выводе формулы (2.8) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону: a = a0 e–γx. Соответственно уравнение плоской волны имеет следующий вид:
(a0– амплитуда в точках плоскости х = 0). Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равна wt + a. Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут колебаться с фазой w ( t – r/ υ ) = wt – kr + a
где a — постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице. Размерность а равна размерности колеблющейся величины, умноженной на размерность длины. Для поглощающей среды в формулу (2.10) нужно добавить множительe–γx. Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (2.10) справедливо только при r, значительно превышающих размеры источника. При стремлении r к нулю выражение для амплитуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|