Здавалка
Главная | Обратная связь

Уравнения плоской и сферической волн. Волновой фронт и волновой вектор.



Волновое уравнение и уравнение плоской электромагнитной волны. Фазовая скорость волны. Отражение и преломление электромагнитных волн на границе двух сред. Согласование волновых сопротивлений.

Ответ:

Волновое уравнение, описывающее бегущую волну на струне. Решение уравнения.

Волновое уравнение. Волна на струне является поперечной волной: смещение частиц струны происходит поперек направления распространения волны. Это показано на рис. 2-а. Волна распространяется в направлении оси 0x со скоростью с, смещение частиц струны происходит в направлении оси 0y со скоростью смещения частиц u.

 
 

 

 


Рис.2.

 

Рассмотрим динамику движения элемента колеблющейся струны длиной dl при малых амплитудах колебаний элемента струны(малых колебаниях). На рис. 2-б элемент dl представлен в крупном масштабе. Длина элемента определяется теоремой Пифагора:

dl = . (1)

Величина = tga, но при малых колебаниях угол a представляет малую величину, поэтому в (1) можно пренебречь ее квадратом. Таким образом, при малых колебаниях можно принять соотношение: dl = dx.

Выделенный элемент струны длиной dl и массой dm перемещается в направлении оси 0y (волна поперечная). Ускорение элемента ay = . Если проекция результирующей силы натяжения в направлении оси 0y равна Fy, то 2-й закон Ньютона для выделенного элемента имеет вид:

dm× ay = Fy .

Выразим массу элемента через линейную (погонную) плотность r материала струны:

dm = r dl = r dx. (2)

На струну действует сила натяжения T. Эта сила при малых колебаниях практически постоянна по всей длине струны. Мы не будем учитывать незначительные изменения силы натяжения вследствие разной степени растяжения струны в разных ее точках. Итак, составляющая результирующей силы Fy в положительном направлении оси 0y равна (рис. 2-б):

Fy = T sin(a + da) - T sina. (3)

Угол a мал, поэтому sina = tga = . В этой связи соотношение (3) принимает вид: Fy = T - T = T .

Индексы при производных указывают, в каких точках эти производные берутся. Разность в квадратных скобках есть приращение производной на длине dx: = = .

Итак, сила, действующая на элемент струны в направлении оси 0y, равна

Fy = T . (4)

Используя (2) и (4), второй закон Ньютона dm× ay = Fy для элемента струны примет вид: r dx = T . После сокращения на dx, имеем:

= . (5)

Отношение имеет размерность квадрата скорости. Обозначим эту скорость через c, тогда уравнение (5) примет вид:

= . (6)

Уравнение (6) и есть волновое уравнение, описывающее распространение бегущей волны в струне, где

c = (7)

фазовая скорость распространения волны. Ниже при рассмотрении решения дифференциального уравнения (6) вернемся к понятию фазовой скорости. Здесь обратим внимание на то, что фазовая скорость является функцией натяжения T и инертных (плотность r) характеристик струны. Такая зависимость фазовой скорости присуща всем упругим волна – волнам в газе, жидкости, твердом теле. Например, скорость продольных акустических волн в металлических стержнях определяется формулой: c = , где E – модуль Юнга металла, r - объемная плотность металла. Скорость звука в газе определяется формулой: c = , где g - показатель адиабаты газа, P – давление в газе, r - плотность газа. Во всех приведенных примерах фазовая скорость определяется упругими и инертными свойствами среды.

Уравнение бегущей волны как решение волнового уравнения.

Решением уравнения (6) является любая функция вида y = f(ct – x) или y = f(ct + x) (убедитесь в этом, подставив, например, функцию f(ct – x) в (6)!). Знак минус соответствует волне, бегущей в положительном направлении оси 0x, знак плюс – в отрицательном направлении. Если вибратор, возбуждающий волну, совершает гармонические колебания, то в качестве решения следует, естественно, выбрать функцию синуса или косинуса. Выберем функцию синуса, тогда уравнение бегущей волны примет вид:

y = а sin [ (ct – x) +j ]. (8)

С формальной точки зрения множитель вставлен в решение (8) для того, чтобы аргумент синуса имел размерность угла. В содержательном отношении величина l - это длина волны, k = - волновое число, а – амплитуда волны, j - начальная фаза.

Из произведения ( x) следует смысл длины волны l. При x = l фаза волны сдвигается на 2p, следовательно, длина волны l – это минимальное расстояние между двумя частицами струны, которые колеблются в фазе. Из соотношения = w = , где w – круговая частота колебания частиц струны и T – период колебания частиц, следует, что фазовая скорость равна c = . Фазовая скорость c = указывает, с какой скоростью распространяется бегущая волна по струне. Можно также сказать, что фазовая скорость c определяет скорость распространения некоторой фазы волны.

Так как = kc = w, x = kx и с = , то уравнение бегущей волны (8) можно записать в виде

y = а sin (wt - kx+j ), (9)

или в виде y = а sin [w (t - ) +j ]. (10)

Обратим внимание на то обстоятельство, что в аргументе уравнения бегущей волны (записанного в любой форме (8), (9) или (10)) отражены как пространственные, так и временные факторы волнового процесса. Если фиксировать координату x, то уравнение (9) описывает гармонические колебание элементов (частиц) струны в точке с этой координатой. Если фиксировать время t, то уравнение волны описывает пространственные смещения частиц струны по всей ее длине в этот момент времени (струна имеет форму синусоиды). Оба фактора – пространственный фактор и временной – совместно описывают бегущую волну в пространстве и времени.

Уравнения плоской и сферической волн. Волновой фронт и волновой вектор.

Уравнением волны называется выражение, которое дает сме­щение колеблющейся частицы как функцию ее координат х, у, zи времени t:

(2.1)
x= x(х, у, z,t)

(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно вре­мени t, так и относительно координат х, y, z. Периодичность по времени вытекает из того, что x описывает колебания час­тицы с координатами х, у, z. Периодич­ность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоя­ние λ, колеблются одинаковым образом.

 

 

 

Найдем вид функции x, в случае плос­кой волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для уп­рощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением рас­пространения волны. Тогда волновые поверхности будут пер­пендикулярными к оси х и, поскольку все точки волновой поверх­ности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: x= x(х, t). Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 (рис. 2.1), имеют вид

x (х, t) =a cos (wt + a).

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей про­извольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до этой плоскости, волне требуется время t= x/υ(υ – скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости х= 0, т. е. будут иметь вид

x (х, t) =a cos [ w ( t − t ) + a ] = a cos [ w ( t − x/υ ) + a ].

(2.2)
Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, выглядит следующим образом:

x = a cos [ w ( t − x/υ ) + a ]

Величина a представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны a определяется выбором начал отсчета х и t. При рас­смотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы a была равной нулю. При совмест­ном рассмотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы равнялись пулю, как правило, не удается.

(2.3)
Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (2.2), положив

w ( t − x/υ ) + a = const

=
0,
 
 

υ
 
 

Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (2.3), получим

(2.4)
υ.
υ.
откуда

 

 

Таким образом, скорость распространения волны υ в уравнении (2.2) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.

(2.5)
Согласно (2.4) dx/dt > 0. Следовательно, уравнение (2.2) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

x = a cos [ w ( t + x/υ ) + a ]

 

– υ,
Действительно, приравняв константе фазу волны (2.5) и продиф­ференцировав получившееся равенство, придем к соотношению

 
 

из которого следует, что волна (2.5) распространяется в сторону убывания х.

(2.6)
,
λ
 
 

Уравнению плоской волны можно придать симметричный отно­сительно х и t вид. Для этого введем величину

(2.7)
ω
υ
 
 

которая называется волновым числом. Волновой вектор— вектор, направление которого перпендикулярно фазовому фронту бегущей волны, а абсолютное значение равно волновому числу.Умножив числи­тель и знаменатель выражения (2.6) на частоту v, можно пред­ставить волновое число в виде

(см. формулу (1.2)). Раскрыв в (2.2) круглые скобки и приняв во внимание (2.7), придем к следующему уравнению плоской вол­ны, распространяющейся вдоль оси х:

(2.8)
x = a cos ( wt + kx + a )

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается от (2.8) только знаком при члене kx.

При выводе формулы (2.8) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При рас­пространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону: a = a0 eγx. Соответственно урав­нение плоской волны имеет следующий вид:

(2.9)
x = a0 e–γx cos ( wt + kx + a )

(a0– амплитуда в точках плоскости х = 0).

Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реаль­ный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источ­ника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, по­рождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равна wt + a. Тогда точки, лежа­щие на волновой поверхности радиуса r, будут колебаться с фазой

w ( t – r/ υ ) = wt – kr + a

(2.10)
a
(чтобы пройти путь r, волне требуется время τ = r/υ). Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной — она убывает с расстоянием от источника по закону 1/r. Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид

r
x = cos ( wt + kx + a )

где a постоянная величина, численно равная амплитуде на рас­стоянии от источника, равном единице. Размерность а равна раз­мерности колеблющейся величины, умноженной на размерность длины. Для поглощающей среды в формулу (2.10) нужно доба­вить множительeγx.

Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (2.10) справедливо только при r, значительно превышающих размеры источника. При стремлении r к нулю выражение для амп­литуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r.

 

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.