Главная | Обратная связь

Максимальным многоугольником будем называть плоский многоугольник, имеющий наибольшую площадь среди всех изопериметрических с ним многоугольников.

План

Методы геометрических преобразований

Метод динамизации геометрических объектов

3. Применение свойств квадратичной функции к решению задач на наименьше наибольшее значение геометрических величин

4. Применение геометрических неравенств

5. Интеграция различных способов решения задач

 

Задача 1

Даны две точки A и B по одну сторону от прямой l найти на l такую точку D, чтобы сумма расстояний от точки А до D и от точки В до D было наименьшей.

В этой задаче, требуется найти такое положение точки D на прямой l, чтобы длинна ломаной ADB была наименьшей.

Проведём анализ этой задачи. Возьмём на прямой l точку D произвольным образом и соединим её с точками А и В. Мы получили некоторую ломаную ADB, длина которой состоит из суммы двух отрезков AD и DB. Поскольку ученики уже прошли тему «Осевая и центральная симметрии», то можно предложить ученикам построить точку В₁ симметричную точке В относительно прямой l . И по свойству осевой симметрии длина отрезка DB₁ будет равна длине отрезка DB , а следовательно и длина ломаной ADB будет равна длине ломаной ADB₁. Затем ученикам можно предложить понаблюдать, как будет изменяться длина ломаной ADB₁ при движении точки D по прямой l . При каком положении точки D на прямой l длина ломаной ADB₁ будет наименьшей. К этому моменту ученикам уже известно что наименьшее расстояние между двумя точками это отрезок и поэтому точка D должна лежать на пересечении прямой АВ₁ с прямой l. При таком положении точки D ломаная ADB₁ будет иметь наименьшую длину, а следовательно и ломаная ADB. Тем самым мы вышли на решение нашей задачи.

Для того чтобы найти на прямой l такую точку D , чтобы сумма расстояний от точки А до В была наименьшей нужно:

-взять точку В₁ симметричную прямой l

-соединить точки А и В₁ отрезком.

Искомая точка D₁ будет являться пересечением прямых АВ₁ и l. (рис.1.)

 

Эта задача была сформулирована Героном, и поэтому её называют задачей Герона, или же задачей на спрямление.

Используя идею решения задачи Герона, учащимся можно предложить решить следующие задачи.

Задача 2

Дан угол и точка С внутри его. Найти точки А и В на сторонах угла так, чтобы периметр треугольника АВС был наименьшим.

Для решения этой задачи, воспользуемся идеей задачи Герона. Т.е. возьмём точки С₁ и С₂ симметричные точке С относительно сторонам угла (рис.2). Затем соединим точки С₁ и С₂ прямой. Пересечение этой прямой со сторонами угла и даст нам точки А и В. Так как периметр треугольника АВС будет равен длине отрезка С₁С₂, а при любом другом положении точек А и В на сторонах угла величина периметра будет больше длины отрезка С₁С₂.

 

Задача 3

Дан угол и две точки С и D внутри него. Найти точки А и В на сторонах угла так, чтобы сумма длин СА+АВ+ВD была наименьшей.

 

Решение

Для решения этой задачи опустим из точки С на одну из сторон угла перпендикуляр, тем самым мы получаем искомую точку А, так как учащимся уже известно, что наименьшее расстояние от точки до прямой – это – длина перпендикуляра опущенного из точки на прямую. Таким образом полученная точка А удовлетворяет требованию, что длина отрезка СА будет минимальная. Далее воспользуемся задачей Герона, и найдём положение точки В на другой стороне угла для которой сумма АВ+ВD будет наименьшей.

 

Задача 4.

Дан треугольник АВС. На стороне АС задана точка Е. Необходимо вписать в треугольник АВС треугольник MFE так, чтобы периметр треугольника MFE был наименьшим.

 

Решение аналогичное задаче 2. То есть, строим точки Е’ и E” симметричные точке Е, относительно прямых, АВ и ВС соответственно. Пересечение прямой E’E” со сторонами АВ и ВС, и даст нам искомые точки М и F.

 

Задача 5.

Дан треугольник АВС. Необходимо вписать треугольник MFE в треугольник АВС, так, чтобы периметр треугольника MFE был минимальным.

 

Допустим что треугольник с минимальным периметром построен. решённых выше задач известно, что точки Е’ и Е” должны быть симметричны точке Е. Так как АВ – серединный перпендикуляр к отрезку ЕЕ’, то ВЕ’=ВЕ, следовательно, угол ÐE’BA=ÐEBA.

Аналогично доказывается, что ВЕ”=ВЕ и угол ÐE”BA=ÐEBС. Следовательно, ÐE’BE”=2ÐВ (Таким образом, получаем, что ÐE’BE” – const и BE’=BE”=BE. Теперь можно утверждать, что периметр треугольника зависит только от положения точки Е.

Периметр треугольника Р_DЕМF =E’E”, длина отрезка E’E” зависит от длины отрезка ЕВ. Значит, чем меньше отрезок ЕВ, тем меньше периметр треугольника MFE.

Отрезок ВЕ – минимальный, когда ВЕ – высота треугольника АВС. Так как высота, проведённая к прямой из данной точки, всегда меньше любой наклонной, проведённой из той же точки.

Таким образом получаем, что для построения треугольника с минимальным периметром, вписанного в данный треугольник, необходимо из точки В опустить перпендикуляр на АС (рис.6.). Основанием этого перпендикуляра будет точка Е. Затем построить точки М и F, так, как указано в задаче 2.

Далее ученикам можно показать , что вершины M и F треугольника MFE будут являются основаниями перпендикуляров опущенных из вершин А и С на стороны АВ и АС соответственно. Для доказательства этого воспользуемся тем фактом, что отрезок соединяющий основания высот, опущенных из двух вершин треугольника отсекает треугольник подобный данному.

Следовательно, для того чтобы показать, что МС перпендикулярна АВ, нужно показать, что треугольник АМЕ подобен треугольнику АСВ. Для этого покажем что угол ÐАМЕ равен ÐАСВ. Так как треугольник Е"ВЕ' равнобедренный и угол ÐE"BE'=2ÐАВС, тогда ÐBE"E=90⁰-ÐABC и ÐME"E=ÐBAC-90⁰+ÐABC, ÐE"MA=90⁰-(ÐBAC+ÐABC-90⁰) а из того что треугольник Е"МЕ равнобедренный, то ÐЕ"МА=ÐАМЕ=180⁰-ÐВАС-ÐАВС= =ÐАСВ, а это означает что треугольник АМЕ подобен треугольнику АСВ, значит СМ является высотой треугольника АВС. Аналогично доказывается, что AF высота треугольника АВС. Мы показали, что из всех треугольников, вписанных в данный остроугольный треугольник, наименьший периметр имеет тот треугольник, вершинами которого являются основания высот данного треугольника.

Лемма1. Максимальный многоугольник должен быть равносторонним.

Лемма2. Максимальный многоугольник должен иметь равные углы при вершинах.

Максимальным многоугольником будем называть плоский многоугольник, имеющий наибольшую площадь среди всех изопериметрических с ним многоугольников.

Определение: многоугольники называются изопериметрическими, если они имеют одинаковый периметр.

Действительно ,если скажем угол А1,А2,А3 больше 180⁰ то отобразив вершину А2 относительно прямой А1,А3 получим изопериметрический многоугольник большей площади.