Главная | Обратная связь

Доказать, что из всех треугольников вписанных в окружность, наибольшую площадь имеет правильный треугольник.

Допустим в окружность вписан произвольный треугольник АВС. Так как он произвольный то в нём один из углов больше 60⁰, а другой меньше 60⁰. Допустим, что ÐАСВ>60⁰, а ÐВАС<60⁰. Тогда возьмём точку B’ на дуге АС так, что ÐACB’=60⁰ и покажем, что SDABC<SDAB’C. Поскольку площадь любого треугольника находится как полупроизведение основания и высоты, то покажем что высота DАВ’С больше высоты DАВС. Для этого возьмём на окружности такую точку B” что ÐCAB”=ÐACB, то есть мы получили DАВ”С равный DАВС (следовательно, высоты этих треугольников равны. Значит нам нужно показать что точка В’ лежит на дуге В”В. Так как ÐACB>ÐACB’ то точка В’ лежит на дуге АВ, но так как ÐАСВ”<ÐACB’ то точка В’ лежит на дуге В”С, а следовательно и на дуге В”В, значит площадь DАВ’С больше площади DАВС. Теперь рассмотрим DВ’АС в котором ÐВ’АС=60⁰. В нём один из углов больше 60⁰, а другой меньше 60⁰. Допустим, что ÐB’AC>60⁰, и рассуждая аналогично, прейдем к тому, что DAB’C’ правильный и имеет площадь большую, чем площадь DАВС, а так как DАВС произвольный, то мы пришли к тому, что среди всех треугольников, вписанных в окружность наибольшую площадь имеет правильный треугольник.

Задача 7

Из всех четырёхугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

Решение

Допустим четырёхугольник ABCD имеет наибольшую площадь среди всех четырёхугольников, имеющих такой же периметр, и пусть АВ¹ВС. Проведём прямую l êê AC. И воспользуемся идеей задачи Герона.

 

 

Построим точку В’ расстояние от которой до точек А и С минимально. Тогда SDABC=SDAB’C, а периметр АВ’С меньше периметра АВС. Значит можно построить равнобедренный треугольник АВ”С периметр которого будет равен периметру АВС, а площадь будет больше. Таким образом, мы пришли к противоречию, значит у искомого четырёхугольника все стороны равны. Следовательно, искомая фигура квадрат или ромб. Площади этих четырёхугольников находятся по формуле S=a×b×sina. Значит максимальной площадь будет при sina=90^o , а это означает что искомый четырёхугольник – квадрат

 

Задача8

Внутри угла А дана точка О. Требуется провести прямую через точку О так, чтобы она отсекала от угла А треугольник с наименьшим периметром.

Решение

Впишем в данный угол окружность, проходящую через данную точку О (из двух таких окружностей возьмем ту, радиус которой больше.

Через точку О проведем касательную МN к этой окружности. Эта касательная и отсечет треугольник наименьшего периметра. Докажем это. Проведем через О какую-нибудь иную прямую ЕD, пересекающую стороны угла. Сравним периметр треугольника АЕD с периметром треугольника АМN. Для этого построим еще касательную КL к дуге ВОС, параллельную ЕD. Сравним периметры треугольников АМN и АКL. Они равны, так как каждый из них равен сумме отрезков АВ и АС. Но периметр треугольника АЕD больше периметра треугольника АК L, а значит, больше и периметра треуголька АМN.

Задача9.

Периметр треугольника, образованного отрезками попарно пересекающихся касательных к окружности, расположенной вне треугольника, постоянен и равен сумме отрезков касательных, проведенных из вершины угла, противолежащего стороне, которой касается окружность.

 

 

Решение.

 

Периметр треугольника АМN равен

 

P_AMN = AM + MN + AN = AM + MX + XN + AN т.к.

MB = MX, NC = NX, то

P_AMN = AM + MB + AN + NC = AB + AC