Главная | Обратная связь

Применение свойств квадратичной функции к решению задач на экстремумы

 

Формализовать экстремальную задачу – это значит точно описать минимизируемую и максимизируемую функцию (обозначим ее F₀) и ограничение (обозначим его С). Ограничение задается обычно равенствами и неравенствами.

Теорема: квадратная функция у=ах²+вх+с принимает экстремальное значение при х₀= - в/2а. Это значение будет наибольшим (максимумом), если а<0 и наименьшим (минимумом), если а>0 . и в том и другом случае экстремальное значение функции будет равно с – в²/4а.

Следствие: произведение двух положительных множителей, сумма которых постоянна, достигает наибольшего значения тогда, когда эти множители равны.

 

 

Задача10.

Заготовлен материал для изгороди длинной L м. Необходимо этой изгородью огородить прямоугольную площадку, имеющую наибольшую площадь. Какими должны быть размеры этой площадки?

Решение

Формализируем эту задачу:

 

Пусть ширина прямоугольника х м. Тогда длина его должна быть равна L/2-х и значит, площадь S=(L/2-х) х.

Требуется найти такое значение х при котором функция F(х)=(L/2-х) х принимает наибольшее значение.

Преобразуем нашу функцию, выделив из нее полный квадрат:

(L/2-х) х = - х²+ L/2х= - (х² - L/2х)= - (х² –2х L/4 + L²/16 - L²/16 ) =

= - [(х -L/4)² - L²/16] = L²/16- [(х -L/4)²]

 

Полученная разность будет наибольшей при наименьшем значении вычитаемого, которое равно О при х - L/4=0. Следовательно, рассматриваемая функция принимает наибольшее значение при х=- L/4. Итак, площадка с периметром L будет иметь наибольшую площадь, если ширина ее равна L/4 и длина L/4, то есть когда она будет квадратной.

Прием, используемый при решении задачи имеет своей основой выделение из квадратного трехчлена полного квадрата. Он применяется довольно часто, и нужно уметь им пользоваться. Применяя его для решения общей задачи, о разыскании экстремумов квадратной функции у=ах²+вх+с (а¹о). Преобразуем данную функцию следующим образом:

ах²+вх+с = а (х²+ в/ах) +с = а(х²+2хв/2а+в²/4а² - в²/4а²)+с = а[(х+в/2а)² - в²/4а²)]+с = а(х+в/2а)² + (с - в²/4а)

Если а>0, то первое слагаемое а(х+в/2а)² получившейся суммы неотрицательно и будет иметь наименьшее значение при условии х+в/2а = 0, то есть при х = - в/2а.

Второе же слагаемое с - в²/4а постоянно, поэтому квадратная функция ах²+вх+с в этом случае при х=- в/2а будет иметь наименьшее значение, равное с - в²/4а. Если же а>0,то первое слагаемое а(х+в/2а)² неположительное и будет иметь наименьшее значение при х+в/2а = 0, то есть при х = - в/2а. А так как второе слагаемое постоянно, то в этом случае квадратная функция будет иметь наибольшее значение, равное с - в²/4а.

Таким образом, была доказана теорема.

Действительно пусть S – сумма этих двух множителей, х – первый из них и, значит S – х – второй. Произведение рассматриваемых множителей у=х(S-х) или у= - х²+ Sхимеет по теореме об экстремуме квадратной функции наибольшее значение при х₀= S/2, равное у₀= S²/4.

Задача10

Сечение тоннеля представляет собой прямоугольник с примыкающим к нему полукругом диаметр полукруга равен основанию прямоугольника. Периметр сечения тоннеля должен быть равен 2р м. Какими должны быть размеры сечения, чтобы пропускная способность тоннеля была наибольшей?

Решение

Обозначим через х радиус полукруга, образующего верхнюю часть тоннеля, и через h – высоту прямоугольной нижней части его.

Тогда 2р=2х+2 h+Пх, откуда h=р-х1/2Пх. Площадь сечения тоннеля выразится так:

S=2х(р-х-1/2Пх)+1/2Пх² S=-(2+П/2)х²+2рх.

Получилась квадратичная функция. Она при х₀=-2р/-2(2+П/2)=2р/4+П

Будет иметь наибольшее значение, равное 2р²/4+П . отметим, что при этом значении х₀ имеет h+2р/4+П, то есть h=х₀.

Задача11