Главная | Обратная связь

Рациональное решение

Покажем, что из всех прямоугольников вписанных в ромб АBСD так, что его стороны параллельны диагоналям ромба, наибольшую площадь имеет прямоугольник, вершинами которого являются середины сторон ромба.

Пусть сторона ромба равна b, a ND=DM=BK=BL= =x, тогда AN=AK=MC= =CL= b- x

Найдем NK из треугольника АNK по теореме косинусов:

Из треугольника NDM по теореме косинусов найдем сторону NM:

Тогда площадь прямоугольника KNML, равна .

Найдем экстремум функции S(x)= :

В точке функция S(x) меняет знак плюс на минус. Таким образом, в этой точке данная функция принимает наибольшее значение, о площадь такого прямоугольника равна:

Пусть теперь прямоугольник вписан в ромб так, что угол между его диагоналями равен углу а ромба. Обозначим диагональ и площадь прямоугольника соответственно через d и S. Тогда , так как d£BD<AC, то наибольшую площадь S₂ имеет прямоугольник, диагональю которого является BD, т.е. .

Остается сравнить S₁ и S₂. Получаем следующий результат: если 0°<a<60°, то наибольшую площадь имеет прямоугольник с вершинами в серединах сторон ромба; если 60°<a<90°,то - прямоугольник с диагональю BD (при этом противоположные стороны прямоугольника лежат на сторонах ромба); если a=60°, то существует два прямоугольника наибольшей площади, вписанных в ромб первым и вторым способами.

 

 

Литература

 

1. Атанасян Л.С. Геометрия 10 – 11. М., 1992.

2. Возняк Г.М., Гусев В.А. Прикладные задачи на экстремумы. М., 1985.

3. Василевский А.Б. Задания для внеклассной работы по геометрии (8 – 11) классы. Пособие для учителя. Мн., 1998.

5. Василевский А.Б. Задачи для внеклассной работы по математике: 9 – 11–е классы. Книга для учителя. Мн., 1988.

7.Горштейн П., Поланский В., Якир М. Геометрические решения экстремальных задач. “Квант”, 1992, 9

8. Готман Э.Г. Уравнения Тождества Неравенства при решении геометрических задач. М., 1965.

9. Пирютко О.Н. Динамизация геометрических объектов в школьном курсе математики. Мн., 2001.

 

10. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии. Стереометрия. М., 1984.

11. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум. М., 1970.

12. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии. М., 1974.