 |
|
Этапы решения нелинейного уравнения
Этап 1
Изучение класса (???), определение корней (???)
Проводится разделение корней (???)
Цель этого этапа: получить хорошее начальное приближение для ………. метода решения
Способы разделения корней
Графический (нули функции, пересечение с горизонтальной осью), таблица (смена знака функции).
Этап 2
Строится последовательный процесс приближений, проводящийся с заданной степенью точности, с целью уточнить значение отыскиваемого корня.
Приближённые (численные) методы решения нелинейных уравнений представляет собой итерационные методы, то есть методы последовательных приближений.
Метод половинного деления
Пусть 
непрерывна на 
и 
.
Делим отрезок пополам и находим координату его середины 
.
Если 
(что маловероятно), то задача решена.
Необходимо найти 
, являющийся корнем уравнения 
Если 
…………, то выбираем одну из 3 половин (?) на концах отрезка, на которых функция имеет противоположные знаки, то есть для которой
Здесь 
– или a, или b.
Новый отрезок (назовём его 
) – производятся те же самые действия.
Получим или искомый корень, или бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков.
, где 
Процесс прекращается, когда
Где 
– заданная точность отыскиваемого корня.
Достоинство метода: метод всегда сходится («абсолютно застрахован от неудачи»).
Недостатки:
· довольно медленный;
· не обобщается на системы уравнений.
Билет 5
1. Решение нелинейного уравнения.
2. Этапы решения нелинейного уравнения.
3. Метод хорд
Метод хорд
Пусть известен отрезок , на котором меняет знак, т.е.
Проведём хорду, соединяющую 
и 
. Уравнение этой линии имеет вид
Найдём координату точки пересечения хорды и оси абсцисс, подставив в это уравнение 
и 
Это значение принимается за уточнённое приближенное к корню.
Точка 
делит отрезок 
на две части. Выбираем ту, где функция меняет знак и повторяем действие, получая сходящуюся к корню последовательность 
.
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока 
, где – заданная точность нахождения корня.
Геометрическая интерпретация
Билет 6
1. Решение нелинейного уравнения.
2. Этапы решения нелинейного уравнения.
3. Метод Ньютона
Метод Нью́тона
Решаем уравнение .
Пусть известно, что на есть корень x уравнения , причём 
и 
непрерывны и сохраняют определённые знаки на .
Пусть 
– некоторое приближённое значение корня. Можно записать
, где h – малая величина
Разложение в ряд Тейлора.
Таким образом, следующее приближение к корню будет
Это итерационная схема ………… метода касательной (итерационный)
Уравнение касательной
Для y=0 значение x будет равно 
Находим : 
Т.к. 
, то 
«шаг за шагом» - итерационный процесс.
Билет 7
1. Решение нелинейного уравнения.
2. Этапы решения нелинейного уравнения.
3. Метод простых итераций.