Здавалка
Главная | Обратная связь

Понятие нормы матрицы. Плохо обусловленные системы уравнений



Для сравнения между собой векторов или матриц вводят понятие нормы вектора или матрицы как соответствующее обобщение абсолютной величины действительного числа. Норму вектора можно вводить по-разному.

Пусть имеется n-мерное пространство . Если для вектора такое, что

1) , причём только тогда, когда x=0.

2) , где

3)

То называют нормой вида

В линейной алгебре наиболее часто используются следующие нормы:

1) Евклидова норма

Совпадает с обычным понятием длины вектора.

2) Норма Чебышева

Ввести норму для матрицы можно представив её в виде «длинного вектора» и применив евклидову норму

Это число называется фробениусовской нормой в пространстве

Запись СЛАУ в виде можно трактовать:

оператор A переводят вектор x в

Тогда норма вида будет являеться величиной образа вектора x при отображении оператора A. Поэтому норма матрицы определяется как максимальная величина, на которой A может растянуть (?) любой вектор в заданной форме

Очевидно (!!), что

Значение нормы матрицы щависит от применяемой нормы вида.

Для нормы Чебышева

Плохо обусловленные системы уравнений

Линейные системы, чьи решения очень чувствительны к изменению данных в этих системах, называются плохо обусловленными системами уравнений.

Пример: какая из систем уравнений является плохо обусловленной?

Обе системы имеют решение

Заменим вектор правой части на – это составит 0,43%-ому изменению этого вектора в евклидовой норме.

Новое решение 1-й системы станет равным ; относительное изменение решения = 0,51%.

Заменим вектор правых частей на (относительное изменение в евклидовой норме 0,55%).

Новое решение 2-й системы уравнений будет равно


 

Билет 14

Метод простых итераций решения СЛАУ.

В этом методе матрица С выбирается единичной: СºЕ. Тогда

В координатной форме:

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.