Понятие нормы матрицы. Плохо обусловленные системы уравнений ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Для сравнения между собой векторов или матриц вводят понятие нормы вектора или матрицы как соответствующее обобщение абсолютной величины действительного числа. Норму вектора можно вводить по-разному. Пусть имеется n-мерное пространство . Если для вектора такое, что 1) , причём только тогда, когда x=0. 2) , где 3) То называют нормой вида В линейной алгебре наиболее часто используются следующие нормы: 1) Евклидова норма Совпадает с обычным понятием длины вектора. 2) Норма Чебышева Ввести норму для матрицы можно представив её в виде «длинного вектора» и применив евклидову норму Это число называется фробениусовской нормой в пространстве Запись СЛАУ в виде можно трактовать: оператор A переводят вектор x в Тогда норма вида будет являеться величиной образа вектора x при отображении оператора A. Поэтому норма матрицы определяется как максимальная величина, на которой A может растянуть (?) любой вектор в заданной форме Очевидно (!!), что Значение нормы матрицы щависит от применяемой нормы вида. Для нормы Чебышева Плохо обусловленные системы уравнений Линейные системы, чьи решения очень чувствительны к изменению данных в этих системах, называются плохо обусловленными системами уравнений. Пример: какая из систем уравнений является плохо обусловленной? Обе системы имеют решение Заменим вектор правой части на – это составит 0,43%-ому изменению этого вектора в евклидовой норме. Новое решение 1-й системы станет равным ; относительное изменение решения = 0,51%. Заменим вектор правых частей на (относительное изменение в евклидовой норме 0,55%). Новое решение 2-й системы уравнений будет равно
Билет 14 Метод простых итераций решения СЛАУ. В этом методе матрица С выбирается единичной: СºЕ. Тогда В координатной форме:
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|