Главная | Обратная связь

Поле комплексных чисел

Во множестве ℝ всех действительных чисел неразрешимо уравнение x²+1=0. Поэтому возникает необходимость расширить множество ℝ так, чтобы в новом множестве данное уравнение было бы разрешимо.

Пусть ℂ=ℝ×ℝ={(a,b) ׀ a,b ℝ}.

Определение 1. Элементы (a,b), (c,d) ℂ называются равными, если а=с и b=d, т.е. .

Определение 2. Суммой элементов (a,b), (c,d) ℂ называется упорядоченная пара , т. е. .

Определение 3. Произведением элементов (a,b),(c,d) ℂ называется упорядоченная пара , т. е. .

Замечание. Из определений 1-3 следует, что заданные на ℂ операции “+” и “ ” формулами и являются алгебраическими.

Теорема 1. Множество ℂ с определенными на нем операциями “+” и “ ” формулами и является полем, которое называется полем комплексных чисел, а его элементы называются комплексными числами.

Доказательство. I. Покажем что ℂ - аддитивная абелева группа.

а) Так как сложение элементов из ℂ сводится к сложению действительных чисел, а на множестве действительных чисел операция “+” ассоциативна и коммутативна, то операция “+” ассоциативна и коммутативна на ℂ.

б) Ө=(0,0) ℂ такой, что x=(a,b) выполняется: x+Ө=(a+0,b+0)=(a,b)=x.

в) x=(a,b) ℂ, (-x)=(-a,-b) ℂ, такой, что x+(-x)=(a,b)+(-a,-b) =(a-a,b-b)=(0,0)= Ө.

Из пунктов а)-в) следует, что ℂ – аддитивная абелева группа.

II. Проверим, что в ℂ выполняются дистрибутивные законы. x,y,z ℂ:

(x+y) z=(a₁+a₂,b₁+b₂ ) (a₃,b₃)=(a₁a₃+a₂ a₃-b₁b₃-b₂b₃, a₁b₃+b₁a₃+a₂b₃+b₂a₃),

xz+yz=(a₁a₃-b₁b₃,a₁b₃+b₁a₃)+(a₂a₃-b₂b₃,a₂b₃+b₂a₃)=

(a₁a₃+a₂a₃-b₁b₃-b₂b₃, a₁b₃+b₁a₃+a₂b₃+b₂a₃) =(x+y) z.

Покажем что операция “ ” коммутативна на ℂ. x,y,z ℂ:

x y=(a₁,b₁) (a₂,b₂)=(a₁a₂-b₁b₂,a₁b₂+a₂b₁),

y x= (a₂,b₂) (a₁,b₁) =(a₂a₁-b₂b₁, a₂b₁+a₁b₂)=x y.

Следовательно операция “ ” коммутативна на ℂ. Поэтому выполняется и левый дистрибутивный закон.

III. Покажем, что ℂ^# - мультипликативная абелева группа. Отметим, что алгебраичность операции умножения следует из определения операции “ ”.

а) Покажем, что операция “ ” ассоциативна на ℂ^# . x,y,z ℂ^#:

(x y) z=(a₁a₂-b₁b₂,a₁b₂+a₂b₁)(a_3,b₃)=(a₁a₂a₃-b₁b₂b₃-a₁b₂b₃-b₁a₂b₃,a₁a₂b₃-b₁b₂b₃+a₁b₂a₃+ +b₁a₂a₃),

x (y z)=(a₁,b₁)(a₂a₃-b₂b₃,a₂b₃+b₂a₃)=(a₁a₂a₃-a₁b₂b₃-b₁a₂b₃+b₁b₂a₃, a₁a₂b₃+a₁b₂a₃+b₁a₂a₃--b₁b₂b₃).

Следовательно, (x y) z= x (y z).

б) Существование нейтрального элемента относительно операции “ ’’:

e=(1,0) ℂ^#, такой, что x ℂ^# выполняется:

x e=(a,b)(1,0)=(a 1-b 0,a 0+b 1)=(a,b)=x.

в) Существование для каждого элемента из ℂ^# обратного элемента на ℂ^#:

x=(a,b) ℂ^# , x^-1=(c,d) ℂ^#. Найдем x^-1: (a,b)(c,d)=(1,0),

(ac-bd,ad+bc)=(1,0) (по определению 1) ,

, ℝ, ℝ.

Таким образом, x=(a,b) ℂ^# , x^-1=( , ) ℂ^#.

Из пунктов а)-в) следует, что ℂ^#- мультипликативная абелева группа.

Из пунктов I-III следует, что ℂ^#- поле. Теорема доказана.

Теорема 2. ℝ⊆ℂ, т.е. множество всех действительных чисел является подмножеством множества всех комплексных чисел.

Доказательство. Пусть : ℝ ℝ₁, где ℝ₁={(a,0)׀ a ℝ} ℂ, и a ℝ выполняется (a)=(a,0) (*).

Покажем, что - изоморфизм.

1. Покажем, что - гомоморфизм ℝ в ℝ₁, пусть a,b ℝ

a. По (*) (a+b)=(a+b,0) и (a)+ (b)=(a,0)+(b,0)=(a+b,0) (a+b)= (a)+ (b).

b. По (*) (ab)=(ab,0) и (a) (b)=(a,0)(b,0)=(ab-0,0+0)=(ab,0) (ab)= (а) (b).

Из а-b следует, что - гомоморфизм.

2. Покажем, что - биекция.

a. Покажем, что - инъекция. Пусть (a)= (b) (по (*)) (a,0)=(b,0) (по определению 1) a= b.

b. Покажем, что - сюръекция: y=(a,0) ℝ₁, x=a ℝ, такой, что (x)= (a)=(a,0)=y Im =ℝ₁.

Из 1-2 следует, что - изоморфизм ℝ ℝ₁ (так как ℝ₁ ℂ) ℝ≲ℂ, т.е. ℝ изоморфно вкладывается в ℂ. Элемент a ℝ отождествляют с парой (a,0) ℝ₁, т.е. (a,0) a, и поэтому можем считать что ℝ ℂ. Теорема доказана.

Теорема 3. В поле ℂ уравнение x²+1=0 разрешимо.

Доказательство. Рассмотрим x²+1=0: x²+(1,0)=(0,0), x²=(-1,0) (**).

Пусть i=(0,1). Тогда i²=(0,1)(0,1)=(0-1,0+0)=(-1,0). Следовательно, i – решение уравнения x²+1=0. Отметим, что i не принадлежит множеству ℝ действительных чисел. Элемент i называют мнимой единицей. Теорема доказана.