ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

З а д а ч а 1. Бесконечная заряженная плоскость с поверхностной плотнос-тью заряда 6,00 нКл/м² расположена перпендикулярно бесконечно длинной заряженной нити с линейной плотностью заряда -5,00 нКл/м. На биссектрисе угла между плоскостью и нитью на расстоянии 500 мм от вершины угла находится точечный заряд -10,0 нКл. Найти величину и направление напряженности электрического поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла и отстоящей от его вершины на расстоянии 100 мм; разность потенциалов электрического поля между двумя точками, расположенными на биссектрисе угла на расстоянии 100 и 300 мм от вершины.

Дано:

СИ

-q

+ σ

-τ

Рис. 1

Решение.

σ = 6,00 нКл/м²

Кл/м²

τ =

5,00 нКл/м

Кл/м

q =

10,0 нКл

Кл

a = 100 мм

0,1 м

b = 300 мм

0,3 м

c = 500 мм

0,5 м

α = 45º

- ? (φ₁ – φ₂) - ?

Электрическое поле создается тремя заряженными телами: бесконечной плоскостью, бесконечно длинной нитью и точечным зарядом. В точке 1 (рис. 1), лежащей на биссектрисе угла на расстоянии а, равном 10 см, от вершины, определяем направление векторов напряженности

электрического поля, созданного плоскостью (

), заряженной нитью (

) и точечным зарядом (

). Результирующую напряженность

в этой точке найдем по принципу суперпозиции электрических полей:

(1)

Для записи векторного уравнения (1) в скалярной форме выбираем инерциальную систему отсчета и находим проекции всех векторов на координатные оси:

(2)

Значение напряженности полей, создаваемых каждым электрическим зарядом, вычислим по формулам:

для бесконечной заряженной плоскости -

, (3)

где - электрическая постоянная (см. прил.);

для бесконечно длинной заряженной нити –

, (4)

где - кратчайшее расстояние от нити до точки 1;

для точечного электрического заряда –

. (5)

С учетом формул (3) - (5) получим:

(6)

Проверяем единицы измерения:

Производим вычисления:

Величину напряженности в точке 1 найдем по формуле:

(7)

Для вычисления разности потенциалов между точками 1 и 2 электри-ческого поля воспользуемся связью между разностью потенциалов поля и напряженностью этого поля

(8)

и принципом суперпозиции электрических полей (потенциал результирующего электрического поля в точке равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых в этой точке отдельными зарядами).

Разность потенциалов между точками 1 и 2, создаваемая заряженной плоскостью, можно вычислить по формуле:

(9)

где x₁ и x₂ – кратчайшее расстояние от плоскости до точек 1 и 2;

Разность потенциалов между точками 1 и 2, создаваемая заряженной нитью, рассчитывается по уравнению:

(10)

где b_y и a_y – кратчайшее расстояние от нити до точек 1 и 2; b_y = b sinα; a_y = a sinα.

Разность потенциалов в точках 1 и 2, создаваемая точечным зарядом, вычисляется по выражению:

(11)

где r₁ и r₂ – кратчайшее расстояние от точечного заряда до точек 1 и 2; r₁ = c – a = = 0,4 (м); r₂ = c – b = 0,2 (м).

Результирующая разность потенциалов электрического поля между точками 1 и 2 в соответствии с принципом суперпозиции вычисляется по формуле:

(12)

Из-за громоздкости формулы (12) проведем вычисления слагаемых по отдельности:

Окончательный результат:

Ответ:

Задача 2. Два металлических шарика радиусом 10,0 и 50,0 мм заряжены: первый – до потенциала 600 В, а второй имеет заряд 3,00 нКл (рис. 2). Определить, насколько изменятся потенциалы шариков после их соединения.

Дано:

СИ

q₂

φ₁

а б Рис. 2

R₁

R₂

Решение.

R₁ = 10 мм

R₂ = 50 мм

φ₁ = 600 В

q₂ = 3,00 нКл

Кл

∆φ₁ – ? ∆φ₂ – ?

Потенциал второго шарика до соединения вычисляют по формуле:

(1)

Так как потенциалы шариков разные, то после их соединения начнется перезарядка, которая будет продолжаться до тех пор, пока потенциалы шариков не уравняются:

(2)

Используя условие (2) и применяя закон сохранения электрического заряда, запишем:

(3)

Решая систему (3), получим:

(4)

Тогда, учитывая, что , запишем:

(5)

(6)

Проверяем единицу измерения:

Производим вычисления:

Ответ: потенциал первого шарика уменьшится на 50 В, а второго – возрастет на 10 В.

Задача 3. В схеме на рис. 3 ЭДС E₁ = 2,00 В; E₂ = 1,50 В; E₃ = 3,00 В; E ₄ = 4,50 В. Внутренние сопротивления всех источников одинаковы и равны 0,5 Ом. Сопротивления резисторов: R₁ = 1,00 Ом; R₂ = 2,00 Ом; R₃ = 3,00 Ом. Найти силу тока во всех участках цепи. Какое количество тепла выделяется в резисторе R₂ за одну минуту?

Дано:

Решение.

I₁

I₂

I₃

E₁

E₂

E₃

E₄

R₁

R₂

R₃

Рис. 3

E ₁ = 2,00 В

E ₂ = 1,50 В

E ₃ = 3,00 В

E ₄ = 4,50 В

r₁ = r₂ = r₃ = r₄ = 0,5 Ом

R₁ = 1,00 Ом

R₂ = 2,00 Ом

R₃ = 3,00 Ом

t = 60 с

I₁ - ? I₂ - ? I₃ - ? Q₂- ?

Так как электрическая цепь, приведенная на рис. 3, разветвленная, то для решения задачи нельзя использовать закон Ома для замкнутой цепи. Решаем задачу с помощью правил Кирхгофа.

Выбираем узел А, произвольно расставляем направление токов в подходящих к узлу проводах и записываем для него первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю (токи, подходящие к узлу, берем со знаком «плюс», отходящие – со знаком «минус»):

(1)

Выбираем в цепи замкнутый контур – АВСА, указываем произвольно направление обхода контура и расставляем на источниках ЭДСстрелки, указывающие направление переноса заряда сторонними силами внутри источников (от «минуса» - к «плюсу»). Записываем для этого контура второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма снижения напряжения в замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре (если направление тока на сопротивлении совпадает с направлением обхода в контуре, то падение напряжения на этом сопротивлении имеет знак «плюс», если не совпадает – знак «минус»; если направление стрелки у ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то перед ЭДС ставим знак «плюс», если противоположно – знак «минус»):

(2)

Выбираем другой замкнутый контур – ACDA – и аналогично записываем для него второе правило Кирхгофа:

(3)

Для нахождения силы тока в участках цепи необходимо решить систему трех линейных уравнений:

(4)

Решаем систему методом Крамера:

(5)

Проверка по первому закону Кирхгофа:

Количество тепла, выделяемого при прохождении тока по проводнику R₂, вычислим по закону Джоуля – Ленца:

(6)

Ответ: I₁= 0,165 A; I₂= -0,101 A; I₃= 0,064 A; Q₂= 1,23 Дж.

Задача 4. По контуру в виде равностороннего треугольника со стороной 200 мм течет ток силой 15,0 А. Перпендикулярно плоскости контура проходят два бесконечно длинных прямых изолированных проводника, в которых протекают токи силой в 30,0 А в противоположных направлениях. Проводники проходят через две вершины треугольника. Найти величину и направление индукции магнитного поля в точке пересечения высот треугольника.

Дано:

СИ

Решение.

I₁

I₂

I₃

I₁

Рис. 4

r₁

a = 200 мм

0,2 м

I₁ = 15,0 A

I₂ = I₃ = 30,0 A

r₃

r₂

Магнитное поле создается замкнутым контуром, состоящим из трех проводников конечной длины, и двумя бесконечно длинными проводниками. Определяем с помощью «правила буравчика» направление индукции магнитного поля, создаваемого каждым проводником в центре треугольника (рис. 4) и на основании принципа суперпозиции магнитных полей записываем:

(1)

где , и - магнитная индукция поля проводников конечной длины замкнутого контура с током I₁;

и - магнитная индукция полей бесконечно длинных проводников с токами I₂ и I₃.

Для записи векторного уравнения (1) в скалярной форме выбираем удобную инерциальную систему отсчета (см. рис. 4, ось OZ – на нас) и находим проекции всех векторов на координатные оси:

(2)

Магнитную индукцию поля, создаваемого каждой стороной треугольного контура, вычислим по формуле:

(3)

где - кратчайшее расстояние от проводника с током I₁ до центра треугольника;

Тогда

(4)

Магнитную индукцию поля, создаваемого бесконечно длинными проводниками, вычислим по формулам:

(5)

(6)

где r₂ = r₃ – радиус описанной окружности.

С учетом формул (5), (6) получим:

(7)

(8)

(так как I₂ = I₃ ).

Проверяем единицы измерения:

Производим вычисления:

Значение результирующей магнитной индукции поля в центре рассчитаем по формуле:

(9)

Ответ:

Задача 5. В однородном горизонтальном магнитном поле находится прямолинейный медный проводник с током 20,0 А, расположенный горизонтально и перпендикулярно полю. Какова должна быть магнитная индукция поля, чтобы проводник, имеющий поперечное сечение 2,00 мм², находился в равновесии?

Дано:

СИ

Рис. 5

Решение.

I = 20,0 A

S = 2,00 мм²

ρ = 8900 кг/м³

В – ?

На проводник с током (рис. 5) действует сила тяжести (со стороны Земли) и сила Ампера (со стороны магнитного поля). Чтобы проводник находился в равновесии, сила должна быть направлена против и должна быть равной ей по величине:

(1)

В проекции на ось ОУ имеем:

(2)

где

ρ - плотность материала проводника (медь);

V = Sl - объем проводника, находящегося в магнитном поле;

α = 90º - угол между направлениями магнитной индукции и тока в проводнике.

С учетом изложенного выше получим:

(3)

Проверяем единицу измерения:

Производим вычисления:

Ответ: В = 8,7 мТл.

Задача 6. Рамка площадью 60,0 см², имеющая 200 витков, равномерно вращается с частотой 5,00 об/с в однородном магнитном поле с индукцией 0,50 Тл. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям магнитной индукции. Сопротивление витков рамки равно 12 Ом. Определить мгновенное значение ЭДС индукции, соответствующее углу поворота рамки в 30º, и максимальный ток, индуцируемый в рамке. В начальный момент времени плоскость рамки перпендикулярна магнитному полю.

Дано:

СИ

Решение.

Рис. 6

N = 200

S = 60,0 см²

ν = 5,00 об/с

B = 0,5 Тл

R = 12,0 Ом

α₁ = 30º

E_i - ? I_{i max} - ?

При вращении рамки в магнитном поле (рис. 6) меняется потокосцепление с рамкой, вследствие чего в рамке согласно явлению электромагнитной индукции индуцируется ЭДС индукции, мгновенное значение которой определяется по основному закону электромагнитной индукции (по закону Фарадея – Ленца):

(1)

где N – число витков в рамке.

Магнитный поток через рамку

(2)

При равномерном вращении рамки угол поворота рамки изменяется по закону:

(3)

где - циклическая (круговая) частота вращения, с^-1;

- линейная частота вращения, об/с.

С учетом уравнений (2) и (3) получим выражение для расчета ЭДС индукции:

(4)

Проверяем единицу измерения:

Вычисляем мгновенное значение ЭДС индукции, соответствующее углу поворота рамки α₁ = 30º:

Величину индукционного тока в рамке можно найти, воспользовавшись

законом Ома:

(5)

Максимальное значение I_i _max будет соответствовать максимальному значению синуса: , тогда

(6)

Производим вычисления:

Ответ: E_i = 9,42 В; I_i _max = 1,57 А.

Задача 7. В идеальном колебательном контуре индуктивность катушки равна 100 мГн, а амплитуда колебаний силы тока в цепи – 20 А. Найти энергию электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки в тот момент времени, когда мгновенное значение силы тока в два раза меньше амплитудного значения.

Дано:	СИ	Решение. Полная энергия идеального колебательного контура складывается из энергии электрического и магнитного полей: (1)
L = 100 мГн	0,1 Гн
I₀ = 20 мА	0,2 A
i = I₀/2
W_e – ? W_m – ?

В идеальном колебательном контуре отсутствует диссипация энергии, поэтому полную энергию можно вычислить через максимальные значения энергии электрического или магнитного поля:

(2)

Энергия магнитного поля для момента времени, когда i = I₀/2,

(3)

Тогда энергия электрического поля конденсатора

(4)

Производим вычисления:

Ответ: W_e = 15 мкДж; W_m = 5 мкДж.

З а д а ч а 8. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника длиной 800 мм уменьшилась в два раза за 3 мин. Чему равна добротность этого осциллятора?

Дано:	СИ	Решение. Добротностью осциллятора называется увеличенное в 2π раз отношение энергии, первоначально запасенной осциллятором, к потерям энергии за один период: . (1)
l = 800 мм	0,8 м
t₁ = 3 мин	180 с
A₀/A = 2
t₂ = T
Q – ?