Главная | Обратная связь

Методология работы в программе MS EXCEL с функциями нормального распределения и распределения Стьюдента

ФункцияНОРМРАСП(рис. 5.8) определяет плотность f и интегральную функцию F нормального распределения при заданных аргументах:

- «x» - значение X, для которого определяются значения f или F.

- «Среднее» - математическое ожидание (или его оценка), представленное самим значением или ссылкой на ячейку, содержащую результат его расчёта.

- «Стандартное откл» - стандартное отклонение распределения (или оценка стандартного отклонения) или ссылка на ячейку, содержащую результат его расчёта.

- «Интегральная» - направление расчёта: плотность f или интегральная функция F распределения, см. § 2.4.

 

Рис. 5.8. Аргументы функции НОРМРАСП

 

Например, поставлена задача определения вероятности попадания некоторой характеристики (размера, какого-либо механического свойства и т.д.) в поле допуска с границами (x₁, x₂), если известна выборка значений этой характеристики. Тогда, подставляя в аргументы функции НОРМРАСП рассчитанные «Среднее» и «Стандартное откл», в «Интегральная» - значение ИСТИНА, а в «x» - последовательно x₁и x_2, определяют интегральную функцию и для нижней и верхней границы поля допуска. Искомая вероятность представляет собой разность -

Функция НОРМСТРАСПопределяет интегральное функцию стандартного нормального распределения (здесь не представлена). Эта функция используется вместо справочной таблицы для стандартной нормальной кривой (приложение ….). Поскольку для стандартного нормального распределения =0 и σ=1 известны, в функции НОРМСТРАСП представлен лишь один аргумент - z, соответствующий значению x, имеющемуся в аргументах функции НОРМРАСП,см. выше, для которого и определяется интегральная функция.

Примечание: в последних версиях программы представлена также функция НОРМ.СТ.РАСП,имеющая более широкие возможности.

НОРМОБР - функция, обратная функции НОРМРАСП, определяющей по заданному значению x интегральную функцию F. НОРМОБР (рис. 5.9) для указанного среднего и стандартного отклонения по заданному значению вероятности ищет значение x, используя метод итераций. (Такую же операцию выполняет и не представленная здесь функция НОРМСТОБР, но для стандартного нормального распределения.)

 

 

Рис. 5.9. Аргументы функции НОРМОБР

 

Как правило, работа технолога состоит в разработке процесса производства, обеспечивающего попадание с максимальной вероятностью характеристик качества в заданные границы допусков. Но бывают случаи, особенно в мелкосерийном производстве, когда необходимо исходить из возможностей уже существующего процесса: определить какие границы допуска при неизменной настройке можно обеспечить с заданной степенью достоверности (или уровня значимости). Именно тогда функцию НОРМОБР удобно использовать для нахождения границ доверительного интервала, обеспечивающих необходимую вероятность попадания в этот интервал контролируемой характеристики, см. §6.6. Для этого уровень значимостиα, например 0,05, делят на две части, обычно равные. Для нахождения нижней границы интервала в качестве аргумента «Вероятность» (см. рис. 5.9) ставят величину α/2 (= 0,025). Для определения верхней границы в качестве аргумента «Вероятность» ставят величину 1,0 - α/2(= 0,975).

Но бывают случаи, когда выпады за пределы нижней и верхней границы доверительного интервала неравноценны по своим последствиям. Например, при изготовлении детали выпад в одну сторону от допуска может означать исправимый, а в другую - неисправимый брак, см. §6.6. В этом случае по сравнению с предыдущим уровень значимостиα, например 0,05, делят на две неравные части. Меньшую часть назначают в сторону области неисправимого брака (например, при обработке вала - в сторону меньших размеров). Наоборот, бóльшую часть α назначают в сторону исправимого брака, то есть при обработке вала в сторону бóльших размеров.

Таким образом, будучи родственной функции ДОВЕРИТ (см. ниже § 6.3), устанавливающей только ширину доверительного интервала,функция НОРМОБР имеет более широкие возможности в отношении установления расположения доверительного интервала, см. ниже §6.6.

Функция СТЬЮДРАСП (рис. 5.10) определяет процентные точки (вероятность) для t-распределения Стьюдента, используемого для проверки гипотез при малом объеме выборки. При увеличении n оно приближается к нормальному распределению. (В аргументах функции СТЬЮДРАСП, как и в аргументах функции НОРМСТРАСПотсутствуют математическое ожидание и дисперсия.)

 

Рис. 5.10. Аргументы функции СТЬЮДРАСП

 

В качестве аргументов функции используются:

- «x» - это значение, для которого вычисляются вероятности;

- «Степени_свободы» - целое, указывающее число степеней свободы k;

- «Хвосты» - число, которое может быть равно 1 или 2 и определяет следующим образом характер распределения: если «Хвосты» = 1, то функция СТЬЮДРАСП определяет одностороннее распределение; если «Хвосты» = 2, то функция СТЬЮДРАСП определяет двухстороннее распределение.

Расчет производится только для x³ 0. Но следует помнить, что для одностороннего распределения: СТЬЮДРАСП(-x,df,1) = 1 – СТЬЮДРАСП(x,df,1) и для двустороннего распределения: СТЬЮДРАСП(-x,df,2) = СТЬЮДРАСП(x df,2). То есть распределение Стьюдента можно «достроить» и для области x< 0.

Данную функцию можно использовать вместо таблицы критических значений t-распределения (Приложение …) для определения значений односторонней или двусторонней доверительной вероятности. Например, для t-распределения с числом степеней свободы k = 9 (выборка объёмом n = 10) для значения t = 2,262 (вставляется в «x») для одностороннего распределения («Хвосты» = 1) будет получен уровень значимости α = 0,025, а для двустороннего распределения («Хвосты» = 2) - уровень значимости α = 0,05 (см. приложение ).

Функция СТЬЮДРАСПОБР (рис. 5.11) в практике статистического анализа используется более часто, чем Функция СТЬЮДРАСП, т.к. определяет критическое значение t-распределения для заданных доверительной вероятности (соответствующей двустороннему распределению Стьюдента) и числа степеней свободы.

 

Рис. 5.11. Аргументы функции СТЬЮДРАСПОБР

 

Таким образом, при использовании функции СТЬЮДРАСПОБР для заданного уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы k=9 получается заданное ранее (см. выше) двустороннее t-значение 2,262 (см. также приложение ).

При необходимости установления одностороннего t-значения оно может быть получено при замене аргумента «Вероятность» на удвоенное (2*α) значение. В результате подстановки в аргумент «Вероятность» значения 0,1=2*0,05 для того же числа степеней свободы k=9 получается одностороннее t-значение, равное 1,833.