Главная | Обратная связь

Общая структура модели

Как было отмечено ранее, цель спектрального анализа - разложить ряд на функции синусов и косинусов различных частот, для определения тех, появление которых особенно существенно и значимо. Один из возможных способов сделать это - решить задачу линейной множественной регрессии, где зависимая переменная -наблюдаемый временной ряд, а независимые переменные или регрессоры: функции синусов всех возможных (дискретных) частот. Такая модель линейной множественной регрессии может быть записана как:

(8.11)

где λ (лямбда) - круговая частота, выраженная в радианах в единицу времени, т.е.

k изменяется от 1 до q. Здесь важно осознать, что вычислительная задача подгонки функций синусов и косинусов к данным может быть решена с помощью множественной линейной регрессии. Коэффициенты a_k при косинусах и коэффициенты b_k при синусах - это коэффициенты регрессии, показывающие степень, с которой соответствующие функции коррелируют с данными. Всего существует q различных синусов и косинусов.

Важно отметить, что сами синусы и косинусы на различных частотах не коррелированы (не связаны) иначе ортогональны. Т.о., здесь рассматривается частный случай разложения по ортогональным полиномам.

Не вдаваясь в подробности, отметим, если n - количество данных, то будет получено n/2+1 функций косинусов и n/2-1 функций синусов. Другими словами, различных синусоидальных волн будет столько же, сколько данных, и можно полностью воспроизвести ряд по основным функциям. В итоге, спектральный анализ определяет корреляцию функций синусов и косинусов различной частоты с наблюдаемыми данными. Если найденная корреляция (коэффициент при определенном синусе или косинусе) велика, то можно заключить, что существует строгая периодичность в данных на соответствующей частоте.

Часто данная структурная модель представлена в комплексных числах; т.е. параметры оцениваемого процесса описаны с помощью действительной и мнимой части преобразования Фурье. Можно также представить комплексные числа как углы; например, можно соединить точку, соответствующую комплексному числу, на плоскости с началом координат и измерить угол наклона этого вектора к горизонтальной оси. В таком виде математические вычисления часто более изящны и проще в выполнении.

Периодограмма

Функции синусов и косинусов независимы (или ортогональны); поэтому можно просуммировать квадраты коэффициентов для каждой частоты, чтобы вычислить периодограмму. Более часто, значения периодограммы вычисляются как:

P_k = (синус-коэффициент_k² + косинус-коэффициент_k²) * N/2

где P_k - значения периодограммы на частоте ν_k , N - общая длина ряда.

Значения периодограммы можно интерпретировать как дисперсию (вариацию) данных на соответствующей частоте. Обычно периодограммы изображают в зависимости от частот или периодов.