Здавалка
Главная | Обратная связь

Завдання визначення стійкості САК



Стійкість, точність та якість САК

Працездатність САК визначається стійкістю системи. Система керування, яка не є стійкою не може експлуатуватись, тому що вона не забезпечить надійного керування і може призвести до небажаних результатів і навіть до аварії об’єкта керування. Тому дослідження стійкості систем керування є одним із найважливіших завдань теорії керування і практики розробки систем керування.

Умовою стійкості системи є вимога, щоб корені характеристичного рівняння системи знаходились у лівій частині комплексної площини. Характеристичне рівняння, як ми вже знаємо, може бути записане за відомою структурною схемою системи. Як правило, на практиці доводиться мати справу з досить складними системами керування. У такі системи входить велика кількість динамічних ланок. Передатна функція системи досить складна. Степінь характеристичного полінома (знаменника передатної функції) може бути досить високою. Для знаходження коренів характеристичного рівняння потрібно це рівняння розв’язати. Ми вміємо розв’язувати тільки рівняння 3 ступеня і деякі часткові вигляди рівнянь більш високого ступеня. Тому якщо потрібно визначити стійкість певної САК за його характеристичним рівнянням, то вирішити це рівняння ми можемо тільки в деяких найбільш простих випадках. На практиці такі системи керування зустрічаються рідко. У переважній кількості випадків доводиться мати справу зі значно складнішими системами. Відомими нам методами ми розв’язати характеристичне рівняння для таких систем не можемо. Отже виникає проблема визначення стійкості систем керування. Треба знайти методи, які б дозволяли визначити стійкість САК без розв’язання характеристичного рівняння. Такі методи розроблені. Згідно з ними для визначення стійкості системи розраховують не відповідність системи умовам стійкості, а визначають певні критерії, які дозволяють судити про стійкість системи, не розв’язуючи характеристичного рівняння. Таких критеріїв стійкості існує досить багато. Найбільш відомими і вживаними є такі критерії стійкості САК:
Алгебраїчний критерій стійкості Гурвіца.

  • Критерій стійкості Михайлова.
  • Частотний критерій стійкості Найквіста.
  • Логарифмічний частотний критерій стійкості.

Критерій стійкості – це певна умова, яка дозволяє визначити стійкість системи, не розв’язуючи її характеристичного рівняння.

Серед критеріїв такі, що дозволяють перевірити стійкість системи шляхом розрахунків за виглядом характеристичного рівняння, а також є критерії, які дозволяють визначити стійкість системи експериментальним шляхом, за даними вимірювання частотних характеристики системи. Практичне використання мають і одні, і другі критерії. Далі розглянуто вказані критерії стійкості без їх математичного доведення. У разі потреби доведення критеріїв стійкості можна знайти в літературі

^ Алгебраїчний критерій стійкості Гурвіца

Завдання знаходження критерію стійкості для систем, динаміка яких описуються диференційними рівняннями будь-якого порядку, було сформульоване Максвелом в 1868 році. Вперше його вирішив Раус в 1873 р. для рівнянь четвертої і п’ятої степені, а в 1877 р. повністю. Критерій був незручний в користуванні. У 1895 р. математиком А.Гурвіцем за проханням словацького професора Стодоли, який займався процесами регулювання турбін, був сформульований критерій у більш зручній формі, в якій він використовується і в даний час. Цей критерій часто називають критерієм Рауса-Гурвіца.

Критерій Гурвіца (Рауса-Гурвіца) формулюється наступним чином. Система є стійкою, якщо при а0 > 0 всі n визначників Гурвіца більше нуля. Визначники Гурвіца одержують з квадратної матриці Гурвіца. Матрицю Гурвіца будують таким чином. Характеристичний поліном системи записують у вигляді

.

У разі, якщо а0 < 0, потрібно помножити всі члени полінома на -1 так, щоб коефіцієнт а0 був додатнім а0 > 0

Записують по діагоналі квадратної матриці розміром n*n, (де n – степінь полінома), коефіцієнти, починаючи з а1 до an

Доповнюють клітку матриці коефіцієнтами із зростаючими індексом вверх і зі спадаючим індексом вниз. Матриця Гурвіца показана нижче:

Вільні місця матриці заповнюють нулями. Заповнена матриця показана нижче.

Визначники Гурвіца складають з матриці як квадратні діагональні матриці послідовно, як показано нижче:

(7.3)

(7.4)


 

Останній визначник включає всю матрицю.

 

Обраховують значення усіх n визначників Гурвіца.

Якщо всі визначники мають додатні значення, то система стійка. Якщо хоча б один з визначників має від’ємне значення, то система не стійка, коли хоча б один з визначників дорівнює нулю, а решта додатні, то система знаходиться на межі стійкості.

Критерій Гурвіца дозволяє визначити стійкість системи ,яка описується диференційним рівнянням будь-якого порядку. Проте цей критерій використовують, як правило, тільки для систем, рівняння яких має не вище ніж п’ятий порядок. Причина в тому, що для обрахунку матриць більш високих порядків потрібні значні зусилля та затрати часу.

 

^ Критерій стійкості Михайлова

Цей критерій був запропонований в 1938 р. Він дозволяє визначити стійкість системи за годографом Михайлова. Він зручний для дослідження стійкості складних систем, порядок диференційного рівняння яких більше ніж 5. Формулюється критерій таким чином.

Для стійкості системи потрібно, щоб годограф Михайлова, починаючись при ? = 0 на додатній частині дійсної осі, при зростанні ? проходив послідовно через n квадрантів комплексної площини де n – порядок полінома. Квадрантами називають області комплексної площини, що знаходяться обмежені півосями. Годограф Михайлова будують як годограф характеристичного комплексу. Характеристичний комплекс одержують заміною оператора р в характеристичному поліномі на уявну величину

Після вказаної заміни можна виділити дійсну і уявну частини:

.

Обраховують значення А та В при збільшенні від нуля 0 до достатньо великої величини , і будують годограф в комплексній площині, відкладаючи послідовно обраховані значення.

Умовою знаходження системи на межі стійкості є проходження годографа через початок координат комплексної площини.

Запас стійкості системи можна визначити за величиною віддалі від точки перетину дійсної осі до початку координат. Варіантом цього критерію є визначення точок перетину годографом осей комплексної площини. Якщо годограф перетинає перемінно то дійсну, то комплексну площини, то система стійка, якщо в деякому діапазоні частот годограф двічі перетинає комплексну чи дійсну вісь, то система нестійка. У вірності такого правила можна переконатись, Дане формулювання зручне тим, що просте за результатами розрахунку - не будуючи графіка, можна визначити стійкість системи

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.