Опуклість графіка функції. Точки перегину
Графік функції, що диференціюється, називається опуклим вниз на інтервалі, якщо він розташований вище будь-якою її дотичною на цьому інтервалі. Графік функції називається опуклим вгору на інтервалі, якщо але розташований нижче будь-якою її дотичною на цьому інтервалі. Точка графіка неперервної функції, що відділяє його частини різної опуклості, називається точкою перегину. На малюнку 153 крива опукла вгору на інтервалі , опукла вниз на інтервалі , точка – точка перегину. Рис. 154. Інтервали опуклості вниз і вгору знаходять за допомогою наступної теореми. Теорема 7.1.11. Якщо функція у всіх точках інтервалу має відємну другу похідну, тобто, то графік функції в цьому інтервалі опуклий вгору. Якщо ж – графік опуклий вниз. □Нехай . Візьмемо на графіку функції довільну точку М з абсцисою ординату у кривої з ординатою її дотичної. Рівняння дотичної, як відомо, є , тобто . Тоді . По теоремі Лагранжа, де з лежить між і . Тому , тобто . Різницю знову перетворимо по формулі Лагранжа: , де лежить між і . Таким чином одержуємо . Досліджуємо цю рівність: 1) якщо , то, , і . Отже, тобто 2) якщо , то , і . Отже, тобто : Отже, доведено, що у всіх точках інтервалу
Рис. 155. ордината дотичної більше ординати графіка, тобто графік функції опуклий вгору. Аналогічно доводиться, що при графік опуклий вниз.■ Для знаходження точок перегину графіка функції використовується наступна теорема. Теорема 7.1.12. (достатня умова існування точок перегину). Якщо друга похідна при переході через точку, в якій вона рівна нулю або не існує, міняє знак, то точка графіка з абсцисою є точка перегину. □Нехай при і при . Це значить, що зліва від графік опуклий вгору, а справа – опуклий вниз. Отже, точка – точка перегину графіка функції .■ Приклад 7.1.12.Досліджувати на опуклість і точки перегину графік функції. ○ Знаходимо, що . Друга похідна існує на всій числовій осі; при . Відзначаємо, що при ; при . Отже, графік функції в інтервалі – опуклий вгору, в інтервалі – опуклий вниз. Точка є точка перегину.● ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|