Здавалка
Главная | Обратная связь

Опуклість графіка функції. Точки перегину



Графік функції, що диференціюється, називається опуклим вниз на інтервалі, якщо він розташований вище будь-якою її дотичною на цьому інтервалі.

Графік функції називається опуклим вгору на інтервалі, якщо але розташований нижче будь-якою її дотичною на цьому інтервалі.

Точка графіка неперервної функції, що відділяє його частини різної опуклості, називається точкою перегину.

На малюнку 153 крива опукла вгору на інтервалі , опукла вниз на інтервалі , точка – точка перегину.

Рис. 154.

Інтервали опуклості вниз і вгору знаходять за допомогою наступної теореми.

Теорема 7.1.11. Якщо функція у всіх точках інтервалу має відємну другу похідну, тобто, то графік функції в цьому інтервалі опуклий вгору. Якщо ж – графік опуклий вниз.

□Нехай . Візьмемо на графіку функції довільну точку М з абсцисою ординату у кривої з ординатою її дотичної. Рівняння дотичної, як відомо, є

, тобто .

Тоді . По теоремі Лагранжа, де з лежить між і . Тому

, тобто . Різницю знову перетворимо по формулі Лагранжа:

, де лежить між і . Таким чином одержуємо

.

Досліджуємо цю рівність:

1) якщо , то, , і . Отже, тобто

2) якщо , то , і . Отже, тобто :

Отже, доведено, що у всіх точках інтервалу

 

 

Рис. 155. ордината дотичної більше ординати графіка, тобто графік функції опуклий вгору. Аналогічно доводиться, що при графік опуклий вниз.■

Для знаходження точок перегину графіка функції використовується наступна теорема.

Теорема 7.1.12. (достатня умова існування точок перегину). Якщо друга похідна при переході через точку, в якій вона рівна нулю або не існує, міняє знак, то точка графіка з абсцисою є точка перегину.

□Нехай при і при . Це значить, що зліва від графік опуклий вгору, а справа – опуклий вниз. Отже, точка – точка перегину графіка функції .■

Приклад 7.1.12.Досліджувати на опуклість і точки перегину графік функції.

○ Знаходимо, що . Друга похідна існує на всій числовій осі; при .

Відзначаємо, що при ; при .

Отже, графік функції в інтервалі – опуклий вгору, в інтервалі – опуклий вниз. Точка є точка перегину.●







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.