Здавалка
Главная | Обратная связь

Асимптоти графіка функції.



Побудова графіка функції значно полегшується, якщо знати його асимптоти. Поняття асимптоти розглядалося при вивченні форми гіперболи (див. з. 68).

Нагадаємо, що асимптотою кривої називається пряма, відстані до якої від точки, що лежить на кривій, прагне нуля при необмеженому видаленні від початку

координат цієї точки по кривій (Рис. 156). Рис. 156.

Асимптоти можуть бути вертикальними, похилими і горизонтальними.

 

Говорять, що пряма є вертикальною асимптотою графіка функції , якщо , або , або .

Дійсно, в цьому випадку безпосередньо з малюнка 156 видно, що відстань точки кривої від прямої рівно . Якщо , то . Згідно визначенню асимптоти, пряма є асимптотою кривої . Для відшукання вертикальних асимптот потрібно знайти ті значення х , поблизу яких функція

 

Рис. 157.

Наприклад, крива має вертикальну асимптоту (див. Рис. 157) , оскільки .

Рівняння похилої асимптотишукатимемо у вигляді

.

Знайдемо і .

Рис. 158

Нехай – довільна точка кривої (див. Рис. 158). По формулі відстані від точки до прямої знаходимо відстань від точки М до прямої (25.5): .

Умова виконуватиметься лише тоді, коли чисельник дробу прагне нуля, тобто

.

Звідси витікає, що, де нескінченно мала: при . Розділивши обидві частини рівності, на і перейшовши до границі при, одержуємо:

.

Оскільки і, , то

З умови (25.6) знаходимо :

Отже, якщо існує похила асимптота:, то і знаходяться по формулах (25.7) і (25.8).

Вірно і обернене твердження: якщо існують кінцеві границі (25.7) і (25.8), то пряма (25.5) є похилою асимптотою.

Якщо хоча б одна з меж (25.7) або (25.8) не існує або рівний нескінченності, то крива похилої асимптоти не має.

Зокрема, якщо , то . Тому – рівняння горизонтальної асимптоти .

Зауваження: Асимптоти графіка функції при і можуть бути різними. Тому при знаходженні меж (25.7) і (25.8) слід окремо розглядати випадок, коли і коли .

Приклад 7.1.13. Знайти асимптоти графіка функції .

○ Оскільки , то графік функції при похилій асимптоти не має.

При справедливі співвідношення

,

.

Отже, при графік має горизонтальну асимптоту .●







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.