 |
|
Формула Тейлора для довільної функції
Розглянемо функцію. Формула Тейлора дозволяє, за певних умов, наближено представити функцію у вигляді моногочлена і дати оцінку погрішності цього приближенния.
Теорема 7.2.1. Якщо функція визначена в декому околі точки і має в ній похідні до n-го порядку включно, то для будь-якого х з цієї околиці знайдеться точка така, що справедлива формула
(7.2.3)
□Формула (7.2.3) називається формулою Тейлора для функції . Цю формулу можна записати у вигляді 
, де
називають многочленом Тейлора, а
називається залишковим членом формули Тейлора, записаним у формі Лагранжаєпохибка наближеної рівності . Таким чином, формула Тейлора дає можливість замінити функцію многочленом з відповідним ступенем точності, рівної значенню залишкового члена .
При 
одержуємо окремий випадок формули Тейлора – формулу Маклорена:
(7.2.4)
де із знаходиться між 0 і 
.
При 
формула Тейлора (7.2.3) має вигляд або 
, тобто співпадає з формулою Лагранжа кінцевих приростів. Розглянена раніше формула для наближених обчислень (див. « 
диференціал функції») бути окремим випадком більш точної формули
.■
Приклад 7.2.2. Знайти число з точністю до 0,001.
○ Запишемо формулу Маклорена для функції . Знаходимо похідні цій функції: 
. Оскільки 
, то по формулі (26.4) маємо:
.
Для знаходження з точністю 0,001 визначимо з умови, що залишковий член менше 0,001. Оскільки, то . Тому при маємо
.
Отже, одержуємо наближену рівність
тобто 
Приведемо розкладання по формулі Маклорена деяких інших елементарних функцій:
,
,
,
●
ОЗНАЧЕННЯ І ПРЕДСТАВЛЕННЯ КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ
Основні поняття
Комплексним числом 
називається вираз вигляду 
де х і у — дійсні числа, а і — так звана уявна одиниця 
Якщо х=0, то число 
називається чисто уявним; якщо у=0, то число 
ототожнюється з дійсним числом х, а це означає, що множина R всіх дійсних чисел є підмножиною множини С всіх комплексних чисел, т.е. R 
С .
Число х називається дійсною частиною комплексного числа 
і позначається х=Re z, а у — уявною частиною z, y=Im z .
Два комплексні числа 
і 
називаються рівними (z1=z2) тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні частини і рівні їх уявні частини: x1=x2, y1=y2 . Зокрема, комплексне число рівно нулю тоді і тільки тоді, коли x=y=0 . Поняття «більше» і «менше» для комплексних чисел не вводяться.
Два комплексні числа і 
, відмінні лише знаком уявної частини, називаються спряженими.