Типовой расчет по теме «Случайные величины»

РАЗДЕЛ 13. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Типовой расчет по теме «Случайные события»

Вариант №1

1. Наудачу выбирается автомобиль с четырехзначным номером. Найти вероятность того, что

а) это автомобиль Президента России;

б) номер не содержит одинаковых цифр.

2. В партии из 15 деталей имеются 10 стандартных. Наудачу отобрано

5 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных ровно 3 стандартные детали.

3. В ящике 20 изделий: 16 годных, 4 бракованных. Из ящика вынима-

ют сразу 2 изделия. Какова вероятность, что оба изделия окажутся:

а) годными;

б) бракованными,

в) хотя бы одно изделие будет годным?

4. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 5. Найти вероятность того,

что среди них окажется хотя бы один туз.

5.Вероятность того, что танк наедет на мину, равна 0,4. Какова вероятность того, что танк подорвется на мине, если 15% мин имеют дефектные взрыватели?

6.Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02; для второго – 0,03; для третьего – 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего – в два раза меньше, чем второго. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной.

7.Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,6 и 6 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой группе, вероятнее всего, принадлежит этот стрелок?

8.Партия изделий содержит 5 % брака. Найти вероятность того, что

среди вынутых наугад 4 изделий окажется 2 бракованных.

9. Вероятность того, что житель некоторого района имеет автомобиль, равна 0,008. Найти вероятность того, что из 500 жителей автомобиль имеют 6 жителей.

10.Вероятность того, что житель некоторого района имеет автомобиль, равна 0,008. Найти вероятность того, что из 500 жителей автомобиль имеют хотя бы 3 жителя.

Вариант №2

1. Цифровой кодовый замок на сейфе имеет на общей оси пять дисков, каждый из которых разделен на десять секторов. Какова вероятность открыть замок, набирая код наудачу, если кодовая комбинация

а) неизвестна;

б) не содержит одинаковых цифр.

2. В урне 15 белых и 5 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется 3 белых шара.

3. На завод привезли партию из 150 подшипников, в которую случайно попали 20 бракованных. Определить вероятность того, что из двух взятых наугад подшипников окажутся:

а) оба годные;

б) оба бракованные;

в) хотя бы один годный.

4. В колоде 36 карт. Наугад вынимают 5 карт. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама.

5.Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он:

а) промахнется все три раза;

б) попадет хотя бы один раз;

в) попадет два раза.

6.В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму равна: для лыжника 0,9; для велосипедиста 0,8; для бегуна 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, выполнит норму.

7.В магазин поступили телевизоры: 20 штук – из города А,30 – из города В и 50 – из города С. Вероятность скрытого дефекта в телевизоре, изготовленном в городе А, – 0,1; в городе В, – 0,05; в городе С, – 0,01. Наугад купленный телевизор оказался с дефектом. В каком городе, вероятнее всего, изготовлен этот телевизор?

8. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди них 2 мальчика, если вероятность рождения мальчика равна 0,51.

9. Вероятность наступления события А в одном опыте равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях.

10. Всхожесть семени ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 100 посеянных семян взойдут от 10 до 20 семян.

Вариант №3

1. На книжной полке хранятся 20 томов собрания сочинений Л.Н.Толстого. Библиотекарь уронила все 20 томов с полки и наудачу составила их обратно. Какова вероятность того, что

а) она расставит книги в прежнем порядке;

б) тома с первого по пятый попадут на прежние места?

2.В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди них находятся 3 женщины

3. В коробке 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажется:

а) одно окрашенное;

б) 2 окрашенных;

в) хотя бы одно окрашенное изделие.

4. Вероятности появления каждого из двух независимых событий А и В соответственно равны 0,6 и 0,5. Найти вероятность появления только одного из них.

5.Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятность того, что эта формула содержится в первом справочнике, равна 0,6; во втором – 0,7; в третьем – 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится:

а) только в одном справочнике;

б) только в двух справочниках;

в) только в трех справочниках.

6.Производится 3 независимых выстрела зажигательными снарядами по емкости с горючим. Каждый снаряд попадает в емкость с вероятностью 0,6. Если в емкость попал один снаряд, горючее воспламеняется с вероятностью 0,7; если 2 снаряда, – с полной достоверностью. Найти вероятность того, что горючее воспламенится.

7.В первой урне 3 белых и 4 черных шара, во второй – 5 белых и 5 черных, в третьей – 8 белых и 4 черных. Из наугад выбранной урны выбираются 2 шара. Какова вероятность того, что шары были выбраны из первой урны, если оба они белые?

8. Вероятность того, что саженец приживется, 0,8. Найти вероятность того, что из 12 саженцев приживутся не менее 10.

9.Вероятность изготовления деталей первого сорта равна 0,8. Найти вероятность того, что из 60 взятых деталей 48 окажутся первого сорта.

10. Вероятность изготовления детали высшего сорта равна 0,4. Найти вероятность того, что из 260 деталей половина будет высшего сорта.

Вариант №4

1. Десять вариантов контрольной работы по математике распределяются случайным образом среди восьми студентов, сидящих в одном ряду. Каждый получает по одному варианту. Найти вероятность того, что

а) варианты первый и второй достанутся первым двум студентам;

б) первые восемь вариантов распределятся последовательно.

2.На складе 30 подшипников, причем 20 из них изготовлено данной бригадой. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу подшипников окажется 3 подшипника, изготовленных этой бригадой.

3.Колода в 16 карт (8 красных и 8 черных) делится пополам. Найти вероятность того, что число красных и черных карт в обеих пачках будет одинаковым.

4.Вероятность поломки первого станка в течение смены равна 0,2 , а второго – 0,13. Чему равна вероятность того, что в течение смены:

а) оба станка будут работать бесперебойно;

б) будет работать бесперебойно только один станок?

5.Вероятность изготовления изделия первого сорта равна 0,9. Сколько должно быть изготовлено изделий, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95 , можно было бы ожидать, что среди них есть хотя бы одно изделие первого сорта?

6. В первой урне 3 белых и 2 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую не глядя перекладывают 2 шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

7.На складе имеется 12 изделий, изготовленных на предприятии А, 20 изделий – на предприятии В, 18 изделий – на предприятии Г. Вероятности качественного изготовления изделий на этих предприятиях соответственно равны 0,9; 0,6; 0,9. Произвольно взятое изделие оказалось качественным. Найти вероятность того, что оно изготовлено на предприятии А.

8.Всхожесть семян ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдут 5?

9.Монета подброшена 40 раз. Найти вероятность того, что орел выпадает в 25 случаях.

10. Вероятность выигрыша по облигации займа равна 0,25. Какова вероятность того, что из 1000 облигаций выиграют от 5 до 10 облигаций?

Вариант №5

1.На сортировочном пункте в ожидании подачи на подъездной путь стоят шесть вагонов для разных направлений. Найти вероятность того, что в нужном порядке стоят:

а) все вагоны;

б) первые два вагона.

2. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них окажутся 2 туза?

3. В партии из 10 изделий 2 бракованных. Наугад выбирают три изделия. Определить вероятность того, что среди этих изделий будет хотя бы одно бракованное.

4. В трех залах кинотеатра идут три различных фильма. Вероятность того, что на определенный час в кассе первого зала есть билеты, равна 0,3; в кассе второго зала – 0,2; а в кассе третьего зала – 0,4. Какова вероятность того, что на данный час:

а) нет билетов ни в одной кассе;

б) есть билеты только в одной кассе;

в) имеется возможность купить билет хотя бы в одной кассе?

5. В урне находится 100 лотерейных билетов, из которых 25 выигрышных. Из урны трижды без возвращения извлекают по одному билету. Какова вероятность того, что все три билета окажутся выигрышными?

6. Завод выпускает в среднем 70 % изделий первого сорта. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий число изделий первого сорта заключено между 650 и 750.

7. Имеется четыре измерительных прибора: три исправных и один неисправный. При измерениях исправным прибором вероятность получения ошибки, превышающей допустимую, равна 0,04; при измерениях неисправным прибором вероятность получения такой ошибки – 0,92. Получена ошибка, превышающая допустимую. Найти вероятность того, что измерение произведено исправным прибором.

8. В магазин вошли 10 покупателей. Вероятность совершить покупку для каждого вошедшего одна и та же и равна 0,2. Найти вероятность того, что 6 из них совершат покупку.

9. Вероятность изготовления изделия высшего качества равна 0,8. Найти вероятность того, что среди взятых 60 изделий 30 окажутся высшего качества.

10. Всхожесть семени ржи составляет 75%. Чему равна вероятность того, что из 80 посеянных семян взойдут от 10 до 20 семян.

Вариант №6

1. Из цифр 1,2,3,4 и 5 составляются разные трехзначные числа, которые записываются на отдельные карточки. Найти вероятность того, что в наудачу взятой карточке

а) написано число 123, если исходные цифры не повторяются;

б) написано число 123, если исходные цифры могут повторяться.

2. Из колоды в 52 карты наугад вынимают 3 карты. Найти веро-

ятность того, что среди них окажутся 2 дамы.

3. Из колоды карт в 52 листа вынимают сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

4. Два охотника стреляют в волка. Для первого охотника вероятность попадания в цель равна 0,7; а для второго – 0,8. Какова вероятность хотя бы одного попадания в волка, если:

а) охотники делают по одному выстрелу;

б) по два выстрела.

5. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятность отказа первого элемента равна 0,1; второго – 0,15; третьего – 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

6. В урне лежит шар с равной вероятностью белого или черного цвета. В урну опускают один белый шар и после перемешивания наудачу извлекают один шар. Он оказался белым. Найти вероятность того, что в урне остался белый шар.

7. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает в среднем 0,2% брака, второй – 0,1%. С первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго – 3000. На сборку поступила бракованная деталь. Найти вероятность того, что деталь поступила со второго автомата.

8. Игральная кость бросается 5 раз. Найти вероятность того, что 3 оч-

ка выпадут 2 раза.

9.Мастер и ученик выпускают однотипные детали, причем производительность мастера в 2 раза выше производительности ученика. Детали без маркировки поступают на склад. Найти вероятность того, что среди 450 деталей, случайно взятых со склада, окажутся изготовленными мастером 300 деталей.

10. Вычислить вероятность того, что при 100-кратном бросании количество выпадений герба будет находиться в пределах [45;55].

Вариант №7

1. Уставший пассажир набирает четырехзначный код камеры хранения на вокзале. Какова вероятность того, что пассажир откроет камеру, если он помнит лишь, что его код

а) состоит из различных цифр;

б) не содержит цифр 1,2,3.

2. В партии из 30 деталей имеется 25 стандартных. Наудачу отобраны 6 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных ровно 4 стандартных детали.

3. Из колоды в 52 карты наугад вынимают 4. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама.

4. Два стрелка производят в цель по одному выстрелу. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,7 ; а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что попадут в цель:

а) оба стрелка;

б) только один стрелок;

в) ни один стрелок.

5. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

6. В коробке находятся две неотличимыепо внешнему виду и по весу игральные кости: одна – правильная, с одинаковыми вероятностями всех шести цифр; другая – неправильная, с неравномерным распределением массы по объему. При случайном подбрасывании неправильной кости “6” появляется с вероятностью 1/3; “1” – 1/9; остальные выпадают с одинаковой вероятностью. Наугад взятая кость была подброшена и выпало 6 очков. Найти вероятность того, что подбросили правильную кость.

7. В тире 5 винтовок, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Стреляющий берет одну из винтовок наудачу и попадает в цель. Определить вероятность того, что выбрана вторая винтовка.

8.Партия изделий содержит 3 % брака. Найти вероятность того, что среди взятых наугад 5 изделий окажется 2 годных.

9. Вычислить вероятность того, что при 100-кратном бросании монеты герб выпадет ровно 50 раз.

10.Мастер и ученик выпускают однотипные детали, причем производительность мастера в 2 раза выше производительности ученика. Детали без маркировки поступают на склад. Найти вероятность того, что среди 450 деталей, случайно взятых со склада, окажутся изготовленными мастером не менее 275 деталей.

Вариант №8

1. Студент забыл четырехзначный кодовый номер своей кредитной карточки. Какова вероятность того, что студент получит стипендию, набирая код наудачу, если он помнит, что

а) все цифры кода различные;

б) код не содержит цифр 0 и 1?

2.В урне 15 белых и 8 черных шаров. Вынимают сразу 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.

3.В колоде 36 карт. Наугад вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

4.Вероятности появления каждого из двух независимых событий А и В равны соответственно 0,3 и 0,7. Найти вероятность появления только одного из них в трех испытаниях подряд.

5.Для местности среднее число дождливых дней в августе равно 11. Чему равна вероятность того, что первые два дня августа будут дождливыми?

6.Два станка штампуют однотипные детали, первый дает 7% брака, второй – 5%. Для контроля взято 40 деталей с первого станка и 30 – со второго. Все эти детали тщательно перемешали и из полученной партии взяли наугад одну деталь. Найти вероятность того, что эта деталь бракованная.

7. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Возникший в машине сбой обнаружен. Найти вероятность того, что он обнаружен в арифметическом устройстве.

8. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди них 3 девочки, если вероятность рождения девочки равна 0,49.

9. Вероятность наступления события А в каждом опыте равна 0,64. Найти вероятность того, что событие А в 100 опытах произойдет 76 раз.

10. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится не более 74 раз.

Вариант №9

1. На штрафной стоянке наудачу выбирают автомобиль с четырехзначным номером. Найти вероятность того, что номер

а) не содержит четных цифр;

б) содержит цифру 7.

2. Колода из 12 карт (6 красных и 6 черных) делится пополам. Найти вероятность того, что число красных и черных карт в обеих пачках будет одинаково.

3. Из колоды в 36 карт вынимают сразу 3 карты. Найти вероятность того, что эти карты будут дамой, семеркой и тузом.

4. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета, равна по 0,9; на третий – 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого надо ответить:

а) на все вопросы;

б) хотя бы на два вопроса.

5. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,90 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

6. При механической обработке станок обычно работает в двух режимах: рентабельном и нерентабельном. Рентабельный режим наблюдается в 80% всех случаев работы, нерентабельный – в 20%. Вероятность выхода из строя станка за время t работы в рентабельном режиме равна 0,1; в нерентабельном – 0,7. Найти вероятность выхода из строя за время t.

7. Два стрелка стреляют по мишени. Один из них попадает в цель в среднем в 5 случаях, а второй – в 8 случаях из 10. Перед выстрелом они бросают «правильную» монету для установления очередности стрельбы. Посторонний наблюдатель знает условия стрельбы, но не знает, какой из стрелков выстрелил. Он видит, что стрелок попал в цель. Какова вероятность того, что стрелял первый стрелок?

8. Монета бросается 10 раз. Какова вероятность того, что орел выпадает 3 раза?

9. На факультете 730 студентов. Найти вероятность того, что 1 сентября является днем рождения не более чем у двух студентов.

10. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность

того, что среди 100 новорожденных будут 50 мальчиков.

Вариант №10

1. Домашняя обезьянка бьет лапой по клавишам компьютера пять раз. Какова вероятность, что напечатанные буквы:

а) составят имя хозяина «Сидор»;

б) образуют слово, начинающееся с буквы «И»?

2. В урне 15 белых и 5 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 3 белых шара.

3. В колоде 32 карты. Наугад вынимают 5 карт. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама.

4. Произведен залп из двух орудий. Вероятность попадания в цель из первого орудия равна 0,8; из второго – 0,9. Найти вероятность поражения цели.

5.Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0,75. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что вероятность появления события в обоих испытаниях одна и та же).

6. Заготовки для серийного производства поступают из первого и второго литейных цехов в соотношении 3:2 и могут быть как стандартными, так и нестандартными. Для первого цеха стандартные заготовки составляют 5%, а для второго цеха – 10% от всей продукции. При изготовлении детали из стандартной заготовки вероятность брака равна 0,02; а из нестандартной – 0,25. Найти вероятность изготовления бракованной детали из случайно выбранной заготовки.

7. Капитан футбольной команды предлагает бить пенальти с равной вероятностью трем игрокам своей команды. Вероятности забить гол для первого, второго и третьего игроков соответственно 0,8; 0,9; 0,9. Гол забит. Какова вероятность того, что это сделал первый игрок?

8. Вероятность выигрыша по облигации займа равна 0,25. Какова вероятность того, что из 8 облигаций 3 выиграют?

9. Вероятность появления событий в каждом из 10000 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие произойдет 7400 раз.

10. Вероятность наступления события А в одном опыте равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 опытах.

Вариант №11

1. На экзамене по теории вероятностей предлагаются 10 задач на классическое определение, 5 – на формулу Байеса и 5 – на формулу Бернулли. Студент последовательно пытается решить три задачи. Какова вероятность того, что:

а) первая задача окажется на классическое определение вероятности, вторая – на формулу Байеса и третья – на формулу Бернулли;

б) первая задача была не на классическое определение вероятности?

2. В партии из 15 деталей имеются 10 стандартных. Наудачу отобрано 5 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных ровно 3 стандартные детали.

3. В ящике 20 изделий: 16 годных, 4 бракованных. Из ящика вынимают сразу 2 изделия. Какова вероятность, что оба изделия окажутся:

а) годными;

б) бракованными;

в) хотя бы одно изделие будет годным?

4.Четыре охотника договорились стрелять по дичи в определенной последовательности. Следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель каждым из охотников одинаковые и равны по 0,8. Найти вероятность того, что будут произведены:

а) один;

б) два);

в) три;

г) четыре выстрела.

5. Проверяется изделие на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

6. Рабочий обслуживает 3 автомата. Вероятность брака для первого автомата равна 0,6; для второго – 0,05; для третьего – 0,01. Производительность всех станков одинакова. Изготовленные детали попадают на общий конвейер. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь оказалась годной.

7. Имеется 3 урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 5 белых и 2 черных, в третьей – 6 белых и 8 черных. Из наугад выбранной урны извлекли 2 шара. Один из них белый, другой черный. Найти вероятность того, что выбор производился из первой, второй или третьей урн.

8. Партия изделий содержит 5 % брака. Найти вероятность того, что среди вынутых наугад 4 изделий окажется 2 бракованных.

9. Вычислить вероятность того, что при 100-кратном бросании моне-

ты герб выпадет ровно 50 раз.

10. Вычислить вероятность того, что при 100-кратном бросании количество выпадений герба будет находиться в пределах [45;55].

Вариант №12

1. В больнице у кабинета врача ожидают приема по одному больному из палат с номерами с 1 по 5 и двое больных из палаты № 6. Врач наудачу приглашает по одному больному. Какова вероятность того, что:

а) первым будет приглашен больной палаты № 6, а второй не из палаты № 6;

б) трое первых больных, принятых врачом, окажутся соответственно из палат № 1,2 и 3?

а) оба годные;

б) оба бракованные;

в) хотя бы один годный.

4. В ящике 10 деталей, из которых 4 бракованных. Из ящика вынимают 5 раз деталь (с возвращением ее каждый раз обратно). Найти вероятность того, что хотя бы один раз будет вынута бракованная деталь.

6.В лаборатории имеется 6 новых компьютеров и 4 старых. Вероятность безотказной работы нового компьютера равна 0,95, а старого – 0,8. Производится расчет на машине, выбранной наудачу. Найти вероятность того, что этот компьютер не выйдет из строя.

7. Покупатель может посетить первый магазин с вероятностью 0,5; второй – с вероятностью 0,3; третий – с вероятностью 0,2. Вероятность приобрести нужную вещь в первом , втором и третьем магазинах соответственно 0,7; 0,8 и 0,9. Покупатель приобрел нужную ему вещь. Что более вероятно, что он совершил покупку в перовм, втором или третьем магазинах?

10. Вероятность наступления события А в одном опыте равна 0,6. Найти вероятность того, событие А наступит от 400 до 1400 раз в 2400 испытаниях.

Вариант №13

1. Компьютер тайно от оператора формирует четырехзначный кодовый номер кредитной карточки для клиента банка, используя датчик случайных чисел. Какова вероятность, что оператор угадает код карточки, если он знает, что

а) цифры в коде не повторяются;

б) код не содержит цифр 0 и 1?

2. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди них находятся 3 женщины.

3. Из колоды в 36 карт вынимают сразу 3 карты. Найти вероятность того, что эти карты будут дамой, семеркой, тузом.

5. Узел содержит 2 независимо работающих детали. Вероятности отказа детали соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.

6. Группа студентов, сдающая экзамен, состоит из 5 отличников, 10 хороших студентов и 15 слабых. Отличник всегда получает “отл.”, хороший студент – “отл.” и “хор.” с равными вероятностями, слабый студент – “хор.”, “уд.” и “неуд.” с равными вероятностями. Найти вероятность того, что наугад вызванный студент получит:

а) “отл.”;

б) “хор.”.

7. Рабочий обслуживает 3 автомата. Вероятность безотказной работы для первого автомата равна 0,90; для второго – 0,85; для третьего – 0,80. Производительность всех станков одинакова. Изготовленные детали попадают на общий конвейер. Взятая наугад деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь поступила с третьего автомата.

8. Всхожесть семян ржи составляет 90%.Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдут 5?

10. «Правильная» монета подбрасывается 100 раз. Что более вероятно из событий А и В: А – {количество выпавших гербов находится в пределах [40, 60]}; В – {количество выпавших гербов находится в пределах [35, 65]}?

Вариант №14

1. В вагон, в котором 36 мест, купили билеты (с указанием мест) 4 пассажира. Проводник рассаживает пассажиров по местам по только ему известному правилу. Найти вероятность того, что:

а) все пассажиры попадут на свои места;

б) никто не попадет на свое место.

2.Из колоды в 36 карт наугад вынимают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них окажутся 2 туза?

а) одно окрашенное;

б) 2 окрашенных;

в) хотя бы одно окрашенное изделие.

4.Три станка работают независимо. Вероятность того, что первый станок в смену выйдет из строя, равна 0,1; второй – 0,2; третий – 0,3. Найти вероятность того, что:

а) хотя бы один станок выйдет из строя;

б) только один станок выйдет из строя.

5. Из ящика, содержащего 15 изделий первого сорта и 8 второго сорта, вынимают сразу 5 деталей. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна деталь второго сорта.

6. Имеется четыре измерительных прибора: три исправных и один неисправный. При измерениях исправным прибором вероятность получения ошибки, превышающей допустимую, равна 0,04. При измерениях неисправным прибором вероятность получения такой ошибки 0,92. Найти вероятность получения ошибки, превышающей допустимую, если измерение произведено прибором, взятым наудачу.

7. На заводе три автоматических линии. Первая дает 3% брака, вторая – 4%, третья – 5%. Первая линия дает половину всех деталей, вторая и третья – одинаковой производительности. Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первой линии.

8. Проводится экзамен на компьютере. В билете 5 вопросов, на каждый из которых дано 3 варианта ответа. Найти вероятность того, что методом простого угадывания удастся ответить, по крайней мере, на 4 вопроса.

9. Монета подброшена 40 раз. Найти вероятность того, что орел выпадает в 25 случаях.

10. Автоматическая телефонная связь в среднем дает 0,3% неправильных соединений. Найти вероятность того, что из 2000 соединений телефонной связи неправильных будут не более пяти.

Вариант №15

1.У шестерых спортсменов кроссовки разных размеров. После душа в темной раздевалке каждый выбрал себе кроссовки наудачу. Найти вероятность того, что:

а) все кроссовки достанутся своим хозяевам;

б) кроссовки 45-го и 46-го размера достанутся своим хозяевам.

2. Из колоды в 52 карты наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажутся 2 дамы.

3.В партии из 10 изделий 2 бракованных. Наугад выбирают три изделия. Определить вероятность того, что среди этих изделий будет хотя бы одно бракованное.

4.Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания в мишень при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,42; 0,5 и 0,8. Найти вероятности того, что в мишени будет:

а) ни одной пробоины;

б) хотя бы одна пробоина.

5. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 5. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

6. Среди населения 34% имеют I группу крови, 36% – II группу, 22% – III и 8% – IV. Человеку, имеющему IV группу крови, можно перелить кровь любой другой группы, человеку со II или III группой можно перелить кровь той же или I группы, а человеку с I группой – кровь только I группы. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайного донора.

7. Прибор может работать в двух режимах: оптимальном и нормальном. Оптимальный наблюдается в 90% случаях работы прибора. Вероятность выхода прибора из строя за время Т в оптимальном режиме работы равна 0,2, в нормальном – 0,7. Прибор вышел из строя. Найти вероятность того, что он работал в это время в нормальном режиме.

8. Игральная кость бросается 5 раз. Найти вероятность того, что три очка выпадут 2 раза.

10. Фабрика выпускает 70 % изделий высшего сорта. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760.

Вариант №16

1. Из цифр 1,2,3,4 и 5 составляются разные трехзначные числа, которые записываются на отдельные карточки. Найти вероятность того, что в наудачу взятой карточке:

а) написано число 123, если исходные цифры не повторяются;

б) написано число 123, если исходные цифры могут повторяться.

2. На складе 30 подшипников, причем 20 из них изготовлено данной бригадой. Найти вероятность того, что среди 5 взятых наудачу подшипников окажется 3 подшипника, изготовленных этой бригадой.

3. В ящике имеется 20 деталей, из которых 15 окрашены. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

4. Проверяются изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

5.В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а остальные – красные. Найти вероятность того, что вытянутые наудачу два мотка нитей будут одного цвета.

6. На складе имеется 12 изделий, изготовленных на предприятии А, 20 изделий – на предприятии В, 18 изделий на предприятии Г. Вероятности качественного изготовления изделий на этих предприятиях соответственно равны 0,9; 0,6; 0,9. Найти вероятность того, что произвольно взятое изделие будет качественным.

7. Заготовки для серийного производства поступают из первого и второго литейных цехов в соотношении 3:2 и могут быть как стандартными, так и нестандартными. Для первого цеха стандартные заготовки составляют 5%, а для второго цеха – 10% от всей продукции. При изготовлении детали из стандартной заготовки вероятность брака равна 0,02, а из нестандартной – 0,25. Изготовлена бракованная деталь. Найти вероятность того, то заготовка поступила со второго литейного цеха.

9. Вероятность изготовления деталей первого сорта равна 0,8. Найти вероятность того, что из 60 взятых деталей 48 окажутся первого сорта.

10. Завод выпускает в среднем 70 % изделий первого сорта. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий число изделий первого сорта заключено между 650 и 750.

Вариант №17

а) неизвестна;

б) не содержит одинаковых цифр?

2. В урне 15 белых и 5 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажутся 3 белых шара.

а) оба годные;

б) оба бракованные;

в) хотя бы один годный.

4.Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить 4 бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны 0,3; 0,4; 0,6 и 0,7.

6.В цехе работают 30 станков. Из них 10 станков марки А, 15 станков марки В и 5 – марки С. Вероятность того, что выпускаемая деталь отличного качества для этих станков: А – 0,8; В – 0,9; С – 0,7. Сколько процентов отличных деталей выпускает цех в целом?

7. В группе 3 отличника, 7 хорошо подготовленных и 10 слабо подготовленных студентов. Вероятности успешной сдачи сессии ими соответственно 0,9; 0,7; 0,3. Наугад выбранный студент успешно сдал сессию. Найти вероятность того, что это был слабо подготовленный студент.

9. Вероятность изготовления изделия высшего качества равна 0,6. Найти вероятность того, что среди взятых 60 изделий 20 окажутся высшего качества.

10. Вероятность наступления события А в одном опыте равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях.

Вариант №18

1. Студент забыл четырехзначный кодовый номер своей кредитной карточки. Какова вероятность того, что студент получит стипендию, набирая код наудачу, если он помнит, что:

а) все цифры кода различные;

б) код не содержит цифр 0 и 1?

2. В урне 15 белых и 8 черных шаров. Вынимают сразу 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажутся ровно 2 белых шара.

3. В колоде 36 карт. Наугад вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

4. Вероятности появления каждого из двух независимых событий А и В равны соответственно 0,3 и 0,7. Найти вероятность появления только одного из них в трех испытаниях подряд.

6. Рабочий обслуживает три танка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,04; для второго – 0,05: для третьего – 0,06. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, третьего – в два раза меньше, чем второго. Определить вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной.

7. Один человек приобрел 3 билета первой лотереи, 4 билета второй, 8 – третьей. Вероятности выигрыша по этим лотереям соответственно равны: первой – 0,1; второй – 0,08 и третьей – 0,01. Наугад взятый билет выиграл. Найти вероятность того, что это был билет третьей лотереи.

8. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди них 3 девочки, если вероятность рождения девочки равна 0,49.

10. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А появится не более 74 раз.

Вариант №19

1. На штрафной стоянке наудачу выбирают автомобиль с четырехзначным номером. Найти вероятность того, что ее номер:

а) не содержит четных цифр;

б) содержит цифру 7.

4. При изготовлении детали заготовка должна пройти 3 операции. Предполагая появление брака на отдельных операциях событиями независимыми, найти вероятность изготовления стандартной детали, если вероятность брака на первой операции равна 0,02; на второй – 0,01 ; на третьей – 0,03.

5. Узел содержит 3 независимо работающих детали. Вероятности отказа деталей соответственно равны 0,02; 0,01 и 0,04. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.

6. В группе спортсменов 15 биатлонистов, 10 лыжников, 7 конькобежцев. Вероятность сдать зачет равна: для биатлонистов – 0,9; для лыжников – 0,8 ; для конькобежцев – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, сдаст зачет.

7. На стройку поступают однотипные панели двух домостроительных комбинатов, причем панелей первого комбината в 1,5 раза больше, чем панелей второго комбината. При сборке дома приходится подгонять с дополнительными трудовыми затратами 3% панелей первого комбината и 5% второго. Найти вероятность того, что первая поступившая панель установлена без дополнительных трудовых затрат.

8. Монета бросается 10 раз. Какова вероятность того, что орел выпадает 3 раза?

9. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет 50 мальчиков.

10. Цех выпускает в среднем 80 % продукции первого сорта. Какова вероятность того, что в партии из 125 изделий будет больше 100 изделий первого сорта?

Вариант №20

1. Наудачу выбирается номер телефона из семи цифр. Найти вероятность того, что:

а) это номер Президента России;

б) все цифры номера различны.

2. В урне 15 белых и 5 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажутся ровно 3 белых шара.

3. В колоде 32 карты. Наугад вынимают 5 карт. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама.

6.Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найдите вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) стандартная.

7. Рабочий обслуживает 5 станков первого типа, 3 – второго и 2 –третьего . Каждый станок первого типа требует наладки с вероятностью 0,2; второго – 0,1; третьего – 0,3. На пульт поступил сигнал с требованием наладки. Какого типа станок, вероятнее всего, потребовал наладки?

8. Вероятность выигрыша по облигации займа равна 0,25. Какова вероятность того, что из 8 облигаций 3 выиграют?

9. Вероятность того, что житель некоторого района имеет автомобиль, равна 0,008. Найти вероятность того, что из 500 жителей автомобиль имеют:

а) 6 жителей;

б) хотя бы 3 жителя.

10. Вероятность появления событий в каждом из 10000 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие произойдет не более 7400 раз.

Вариант №21

1. Наудачу выбирается автомобиль с четырехзначным номером. Найти вероятность того, что:

а) это автомобиль Президента России;

б) номер не содержит одинаковых цифр.

а) годными;

б) бракованными;

в) хотя бы одно изделие будет годным?

4. Проверяется изделие на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

5. В ящике 10 деталей, из которых 4 бракованных. Из ящика вынимают 5 раз деталь (с возвращением ее каждый раз обратно). Найти вероятность того, что хотя бы один раз будет вынута бракованная деталь.

6. В первой команде 6 мастеров спорта и 4 первокурсника, а во второй – 6 перворазрядников и 4 мастера спорта. Сборная, составленная из игроков первой и второй команд, содержит 10 спортсменов: 6 спортсменов из первой команды и 4 – из второй. Из сборной команды наудачу выбирается один спортсмен. Найти вероятность того, что он мастер спорта.

7. Четыре стрелка стреляют по мишени. Первый делает 1 выстрел, второй – 3, третий – 2, четвертый – 4. Вероятности попаданий для первого, второго, третьего и четвертого стрелков соответственно равны 0,9; 0,7; 0,8; 0,5. Мишень один раз была поражена. Что более вероятно: попал в мишень первый или третий стрелок?

9. Вычислить вероятность того, что при 100-кратном бросании монеты герб выпадет ровно 50 раз.

10. Вычислить вероятность того, что при 100-кратном бросании монетыколичество выпадений герба будет находиться в пределах [45;55].

Вариант №22

а) неизвестна;

б) не содержит одинаковых цифр?

3. В колоде 36 карт. Наугад вынимают 5 карт. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна дама.

4.Узел содержит две независимо работающих детали. Вероятности отказа деталей соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.

6. Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим полета осуществляется в 80% всего времени полета, условия перегрузки – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, а в условиях перегрузки – 0,4. Вычислить надежность прибора во время полета.

9. Вероятность наступления события А в одном опыте равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 опытах.

10. Вероятность появления события А в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,6. Найти вероятность того, что событие А появится не более 74 раз.

Вариант №23

1. На книжной полке хранятся 20 томов собрания сочинений Л.Н.Толстого. Библиотекарь уронила все 20 томов с полки и наудачу составила их обратно. Какова вероятность того, что:

а) она расставит книги в прежнем порядке;

б) тома с первого по пятый попадут на прежние места?

3. В коробке 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся:

а) одно окрашенное;

б) 2 окрашенных;

в) хотя бы одно окрашенное изделие.

6. Три стрелка стреляют по мишени. Первый делает 3 выстрела, второй – 2, третий – 4. Вероятности промахов ими соответственно равны: первого – 0,3; второго – 0,1; третьего – 0,5. Найти вероятность того, что цель не была поражена.

7. Прибор может работать в двух режимах: 1) нормальном и 2) ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора; ненормальный – в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1; в ненормальном – 0,7. Прибор вышел из строя за время t. Найти вероятность того, что прибор работал в нормальном режиме.

8. 20% всех людей блондины. Найти вероятность того, что из восьми случайно выбранных людей не менее двух блондинов.

9. Автоматическая телефонная связь в среднем дает 0,3% неправильных соединений. Найти вероятность того, что из 2000 соединений телефонной связи неправильных будут не более пяти.

10. Вероятность изготовления детали высшего сорта равна 0,4. Найти вероятность того, что из 260 деталей половина будет высшего сорта.

Вариант №24

а) варианты первый и второй достанутся первым двум студентам;

б) первые восемь вариантов распределятся последовательно.

2. На складе 30 подшипников, причем 20 из них изготовлены данной бригадой. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу подшипников окажется 3 подшипника, изготовленных этой бригадой.

3. Из колоды в 36 карт вынимают сразу 3 карты. Найти вероятность того, что эти карты будут дамой, семеркой, тузом.

4. Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85, из второго – 0,91. Найти вероятность поражения цели.

5. Узел содержит 3 независимо работающие детали. Вероятности отказа деталей соответственно равны 0,02; 0,01 и 0,04. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.

6. Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим полета осуществляется в 80% всего времени полета, условия перегрузки – в 20 %. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, а в условиях перегрузки – 0,4. Вычислить надежность прибора во время полета.

7. Для контроля продукции из трех партий берется для испытания одна деталь. В одной партии 2/3 деталей бракованные, а в двух других все доброкачественные. Обнаружена бракованная продукция. Найти вероятность того, что продукция выбрана из партии, где все детали доброкачественные.

8. Вероятность выигрыша по облигации займа равна 0,25. Какова вероятность того, что из восьми облигаций три выиграют?

9. Монета подброшена 40 раз. Найти вероятность того, что орел выпадает в 25 случаях.

10. Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время Т с вероятностью Р=5^. 10^-4 . Найти вероятность того, что за время Т откажет:

а) хотя бы один элемент;

б) ровно один элемент.

Вариант №25

1.На сортировочном пункте в ожидании подачи на подъездной путь стоят 6 вагонов для разных направлений. Найти вероятность того, что в нужном порядке стоят:

а) все вагоны;

б) первые два вагона.

2.Из колоды в 36 карт наугад вынимают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них окажутся 2 туза?

5. Проверяются изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное.

7. В группе спортсменов 15 биатлонистов, 10 лыжников, 7 конькобежцев. Вероятность сдать зачет равна: для биатлонистов – 0,9: для лыжников – 0,8; для конькобежцев – 0,75. Спортсмен, вызванный наудачу, сдает зачет. Найти вероятность того, что вызвали биатлониста.

9.Вероятность изготовления изделия высшего качества равна 0,8. Найти вероятность того, что среди взятых 60 изделий 30 окажутся высшего качества.

10. Автоматическая телефонная связь в среднем дает 0,3% неправильных соединений. Найти вероятность того, что из 2000 соединений телефонной связи неправильных будут не более пяти.

Типовой расчет по теме «Случайные величины»

Вариант №1

1. Случайная величина Х принимает значение, равное числу дам, которые появляются, если из колоды в 36 карт произвольно вытаскиваются 4 карты. Построить ряд распределения случайной величины.

2. Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей

Х	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
Р(х)	0,3		0,2	0,15	0,25

Найти , функцию распределения . Построить график . Найти

3. Случайная величина задана функцией распределения

Найти: а) плотность распределения ; б) . Пост-

роить графики и .

4.Задана плотность распределения непрерывной случайной величины :

Найти: 1) параметр а; 2) функцию распределения 3) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X; 4)

5.В течение часа коммутатор, установленный для включения телефонных аппаратов в офисах торговой фирмы, получает в среднем 90 вызовов. Считая, что число вызовов на любом отрезке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что в течение 4 минут поступят три вызова; не менее трех вызовов.

6.Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение с характеристиками , . Найти f(x), F(x) и вероятность того, что в трех независимых испытаниях случайная величина хотя бы раз попала в интервал .

7. Дистанция Х между двумя соседними самолетами в строю имеет показательное распределение с математическим ожиданием . Опасность столкновения самолетов возникает при уменьшении дистанции до 20 м. Найти вероятность возникновения этой опасности.

8. Заданы математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу ( ); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания окажется меньше .

а=7; =2; =6; =10; =4.

9.Пусть диаметр изготавливаемой в цехе детали является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами а=4,5 см и =0,05 см. Найти вероятность того, что: а) диаметр взятой наугад детали отличается от математического ожидания не более чем на 1 мм; б) первые две наугад взятые детали имеют диаметры от 4,45 до 4,55 см.

10. В двух ящиках содержатся шары, по 6 шаров в каждом. В первом ящике два шара с номером 1, два шара с номером 2 и 2 шара с номером 3; во втором ящике два шара с номером 1, три шара с номером 2 и один шар с номером 3. Рассматриваются случайные величины: Х – номер шара, вынутого из первого ящика; Y – номер шара, вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составить таблицу распределения системы случайных величин . Найти математические ожидания, дисперсии X и Y, коэффициент корреляции.

Вариант №2

1.В партии из восьми деталей 2 с браком. Наудачу выбираются 2 детали. Случайная величина X – число бракованных деталей среди отобранных. Построить ряд распределения случайной величины.

2.Случайная величина Х имеет распределение вероятностей, представленное таблицей

Х	0,2	0,4	0,7	0,8
Р(х)		0,15	0,25	0,2	0,3

Найти , функцию распределения . Построить график . Найти

3. Случайная величина задана функцией распределения

Найти: а) плотность распределения ; б) . Пост-

роить графики и .

4.Задана плотность распределения непрерывной случайной величины :

5. Известно, что в партии деталей имеется 10% бракованных. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа годных деталей из пяти, выбранных наудачу.