 |
|
ГЛАВА 2. СТАТИКА ДЕФОРМОВАНОГО ТІЛА
§1. Основні поняття опору матеріалів.
Усі елементи машин або споруд повинні працювати без небезпеки руйнування або значної зміни геометричних параметрів під дією зовнішніх сил. Ці сили прикладені безпосередньо до елемента або передаються через зв’язані з ним сусідні елементи. Для нормальної роботи кожний елемент повинен бути такого розміру і форми, щоб витримував діючі на нього навантаження, не руйнуючись, тобто був міцним, щоб при дії робочих навантажень не давав великих і недопустимих змін форми і розмірів, тобто був жорстким, і щоб зберігав надану йому початкову форму (не випучувався) — був стійким.
Розділ механіки, який вивчає загально інженерні методи розрахунку елементів споруд і машин на міцність, жорсткість і стійкість, має назву опір матеріалів. Опір матеріалів — наука, в якій на підставі експериментальних даних про властивості матеріалів, з одного боку, та правил статики АТТ і вищої математики — з іншого, викладаються загальні методи розрахунку раціональних розмірів і форм елементів інженерних конструкцій з урахуванням величини і характеру діючих на них навантажень, що відповідає приведеним вище вимогам.
Усі реальні елементи конструкцій і машин під дією на них зовнішніх сил змінюють свою форму і розміри — деформуються. Для зовнішніх сил недеформоване тіло порушує нормальні відстані між молекулами, за рахунок чого змінюється міжмолекулярна взаємодія і всередині тіла виникають додаткові сили, які протидіють деформації і намагаються повернути частинки тіла в початкове положення. Ці внутрішні сили називаються силами пружності або силами опору матеріалів (звідси походить назва відповідної технічної дисципліни).
Властивість усунення деформацій після припинення дії зовнішніх сил називають пружністю. Якщо тверде тіло після зняття зовнішнього навантаження повністю відновлює свою форму і розміри, то його називають абсолютно пружним, а відповідні деформації, що зникають після зняття навантаження — пружними деформаціями. Деформація, яка частково залишається після зняття навантаження, називається пластинкою.
На перший погляд може здатися, що забезпечення міцності того чи іншого елемента може бути реалізоване за рахунок механічного збільшення його розмірів. В дійсності, збільшення розмірів елементів конструкції, а відповідно і збільшення її ваги може бути причиною руйнування споруди в процесі її побудови. Збільшення ваги рухомих деталей механізмів і машин приводить до небажаного збільшення розмірів елементів конструкцій транспортних машин (літаків, суден, ракет). Завищення розмірів їх ланок приводить до перевитрат матеріалів і пального. Тому, прагнучи забезпечити необхідну міцність і надійність машин і споруд, слід робити їх по можливості легкими і економічними. Ці завдання розв’язують на підставі теорії, що розглядається в курсі опору матеріалів.
Як і курс статики АТТ, опір матеріалів будуватимемо на аксіоматичній основі. Це означає, що в першу чергу потрібно виділити перелік основних об’єктів розрахунку і гіпотез (аксіом), в яких будуть зафіксовані суттєві властивості матеріалів, з яких виготовлені основні об’єкти, і допущення про характер їх деформації.
Сукупність елементів машин і споруд, які зустрічаються на практиці, може бути зведена до кількох узагальнених типів:
1. Стержні або бруси (мал. 2.1) являють собою тверді деформовані
тіла призматичної форми, у яких один із розмірів (довжина) значно (хоча б на один порядок) перевищує два інші (поперечні) розміри. Якщо один з поперечних розмірів стержня набагато перевищує інший, то такий стержень називається тонкостінним. Тонкостінні стержні — двотаври, швелери, кутники широко використовуються в будівництві, а спеціальні прокатні профілі — в судно-автобудуванні.
2. Пластина являє собою тіло призматичної або циліндричної форми (мал. 2.2), у якого один з розмірів значно менший від двох інших.
До пластин можуть бути віднесені залізобетонні плити міжповерхових
перекрить будівель, фундаментні плити, диски турбомашин, плоскі днища резервуарів та інші.
Оболонками будемо називати пластини з викривленими серединними поверхнями (мал. 2.3). До оболонок відносять резервуари циліндричної і сферичної форм, куполи будівель.
В скороченому курсі опору матеріалів основним об’єктом розрахунку є стержень. Суттєвої різниці між стержнем і брусом нема. Стержень відрізняється меншими поперечними розмірами.
Розглянемо уявний розріз стержня деякою площиною. Одержана при цьому плоска геометрична фігура називається перерізом стержня. Множина центрів ваги всеможливих перерізів стержня називається його віссю. Оскільки центр ваги плоскої фігури є геометрична точка, то вісь стержня може бути матеріальною, якщо проходить у межах матеріалу стержня (вісь суцільного циліндричного стержня) і нематеріальною, якщо проходить поза матеріалом (вісь трубчастого циліндричного стержня).
Поперечним або нормальним перерізом стержня називається переріз, перпендикулярний до осі стержня. Всі інші перерізи називаються похилими або косими.
За виглядом осі стержня поділяються на: 1) прямолінійні і криволінійні; 2) замкнені і незамкнені.
За формою поперечного перерізу — на: 1) товстостінні і тонкостінні.
На мал. 2.4. круглий і прямокутний перерізи — товстостінні стержні, всі інші — тонкостінні.
Усі реальні тіла під дією зовнішніх сил здатні деформуватися. Величина деформації оцінюється значенням зміни геометричних розмірів по відношенню до недеформованого стану тіла. На практиці допускаються малі деформації деталей машин і споруд, а також незначна зміна початкової форми.
У курсі опору матеріалів розрізняють такі чотири основні види простих деформацій: розтяг або стиск, зсув (зріз), кручення і згин.
Деформація розтягу (стиску) характеризується зміною початкової довжини стержня (мал. 2.5) на величину Δl внаслідок дії на стержень зрівноваженої системи двох осьових сил Р. При маємо деформацію
розтягу, при — деформацію стиску.
Величина Δl називається абсолютним видовженням (або укороченням), а відношення — відносним видовженням (або укороченням). Величина ε безрозмірна і характеризує абсолютне видовження стержня одиничної довжини при заданому навантаженні.
На розтяг або стиск працюють такі елементи конструкції, як колони, канати, стержні ферм і інші.
Якщо зовнішні сили зміщують два близькі плоскі паралельні перерізи стержня один відносно іншого, то така деформація називається зсувом або зрізом (мал. 2.6). прикладом деталі, що працює в умовах зсуву, є заклепка або болт.
Деформація зсуву характеризується абсолютним зсувом ΔS. Величина, яка дорівнює відношенню абсолютного зсуву до відстані між площинами, що зсуваються, називається відносним зсувом
(тут враховано, що при малих деформаціях кут зсуву γ малий).
Деформація кручення викликається зрівноваженою системою пар, що діють в площинах, перпендикулярних осі стержня. Прикладом стержнів, що працюють на кручення, є вали машин.
Деформація кручення вала довжиною l характеризується взаємним поворотом кінцевих перерізів на кут φ, який називається повним кутом закручування стержня (мал. 2.7).
Відносним або погонним кутом закручування називається величина .
Деформація згину являє собою викривлення стержня під дією зовнішнього навантаження у поздовжніх площинах перерізу стержня. Згин характеризується лінійними зміщеннями точок осі стержня (прогинами у) і кутами повороту перерізів φ відносно своїх початкових положень (мал. 2.8). Стержні, що перебувають в умовах згину, називають балками. Це можуть бути балки міжповерхових перекрить і мостів, зубці шестерень, листові ресори і інші.
Крім вищеназваних простих видів деформацій, можливі складні види, коли зовнішніми навантаженнями викликається поява одночасно кількох різних видів простих деформацій (наприклад, згин з крученням, згин з розтягом або стиском).
На відміну від абсолютно твердих тіл, рівновага яких розглядається в статиці, опір матеріалів вивчає реальні деформовані тіла. Тому між цими двома дисциплінами існує суттєва різниця. В опорі матеріалів не можуть бути використані методи перетворення системи сил, що діє на стержень. Розглянемо деякі схеми навантаження стержнів. Так, під час дії на стержень системи двох зрівноважених сил (мал. 2.9) стержень а буде розтягуватися, стержень δ — стискуватися, стержень b — не деформується. З точки зору статики твердого тіла всі ці випадки рівноцінні. Приведений приклад показує, що в опорі матеріалів силу не можна переносити вздовж лінії її дії.
При згині за схемами, показаними на мал. 2.10, ми дістанемо різні деформації, хоча обидва випадки з точки зору статики еквівалентні. Це означає, що в опорі матеріалів недопустимі заміна однієї системи сил їй еквівалентною.
На мал. 2.11 приведено приклади, які ілюструють неможливість в опорі матеріалів переносу пари сил в площині її дії.
Для спрощення розрахунку елементів конструкцій на міцність, жорсткість і стійкість доводиться використовувати певні допущення і гіпотези про властивості матеріалів і характер деформацій. Це дозволяє при нехтуванні факторами, що мають другорядне значення, у конкретних випадках підібрати прості розрахункові схеми і при застосуванні відносно простих математичних методів отримати необхідні розрахункові формули. Основні допущення про властивості матеріалу такі:
Гіпотеза 1. Вважаємо, що матеріалу стержня властива суцільність. Це означає, що весь об’єм стержня заповнений матеріалом (відсутність порожнин).
Гіпотеза 2. Матеріал стержня вважаємо однорідним (довільні як завгодно малі його частини мають однакові властивості) і ізотропним (фізико-механічні властивості матеріалу однакові в усіх напрямках). До ізотропних матеріалів можна віднести метали, бетон, окремі види пластмас. Якщо в різних напрямках властивості матеріалу неоднакові, то він називається анізотропним (деревина, скло, пластики).
Гіпотеза 3. Вважаємо, що матеріалу в певних межах властива абсолютна пружність, тобто після зняття зовнішнього навантаження повністю зникають відповідні деформації.
Нижче приведені основні допущення про характер деформацій:
Гіпотеза 4. Деформації, які виникають в пружних тілах під дією
зовнішніх сил, дуже малі в порівнянні з початковими розмірами тіла (велика відносна жорсткість матеріалу).
Це допущення дозволяє в багатьох випадках не враховувати зміну розмірів тіла при деформації і зв’язану з цим зміну в розміщенні сил.
Гіпотеза 5. Припускається існування лінійної залежності між діючими на пружне тіло навантаженнями і деформаціям, які виникають при цьому (закон Гука).
Твердження 4 і 5 справедливі в певних межах навантаження.
Гіпотеза 6. Плоскі перерізи стержня, перпендикулярні до його осі, залишаються плоскими і перпендикулярними до осі деформованого стержня. Це допущення в опорі матеріалів називається гіпотезою плоских перерізів.
Гіпотеза 7.Внаслідок малості переміщень, які виникають в стержнях, лінійній залежності деформацій від зовнішніх навантажень, можна припустити, що зовнішні сили діють незалежно одна від одної. Це твердження відоме під назвою принципу незалежності дії сил. Суть його полягає в наступному:
Ефект дії на стержень системи сил дорівнює сумі ефектів від дії кожної сили окремо.
Інші допущення і гіпотези стосовно до окремих видів деформації будуть приведені при вивченні відповідних розділів курсу.
Зупинимося коротко на класифікації зовнішніх сил. Зовнішні сили бувають об’ємні — прикладені до всіх внутрішніх точок тіла (наприклад, власна вага, сили інерції), і поверхневі — прикладені до поверхні тіла.
Розрізняють чотири типи поверхневих сил:
1) Сили, неперервно розподілені на поверхні (2.12). такі сили називають тиском. До них може бути віднесено снігове і вітрове навантаження, тиск газу в циліндричні двигуни внутрішнього згоряння, тиск пари на стінки парового котла. Одиниця вимірювання — Па (Н/м2).
2) Сили, неперервно розподілені по лінії (мал. 2.13). Навантаження
цього типу називається погонним або лінійним. Воно характеризується інтенсивністю q з одиницею вимірювання — Н/м.
3) Зосереджені сили, що діють на малій площині. Одиниця вимірювання такої сили — Н.
4) Зосереджений момент М являє собою пару сил з моментом М, прикладену в одній точці. Одиниця вимірювання такого навантаження . Одиниця вимірювання об’ємних сил — Н/м3.
За характером прикладення в часі зовнішні сили поділяються на статичні і динамічні. Статичними називаються такі навантаження, які плавно змінюються від нуля до свого кінцевого значення і далі залишаються незмінними. При дії статичних навантажень прискорення елементів конструкцій відсутні, або настільки малі, що ними можна знехтувати.
Динамічними називають такі навантаження, швидкість зростання яких приводить до появи прискорень елементів конструкцій.
За часом дії динамічні навантаження можна розділити на три види:
1. Прикладені раптово (час зростання частки секунди). Такого типу навантаження є сила тяги тепловоза чи електровоза при зрушенні його з місця, наростання тиску газів в циліндрі двигуна внутрішнього згоряння.
2. Ударні навантаження, час дії яких — соті і тисячні частини секунди. Під час дії ударних навантажень виникають великі сили інерції. Прикладами ударних сил є навантаження на сваю під час її забивання копром, навантаження на цвях під час забивання його молотком.
3. Повторно-змінні або циліндричні навантаження, такі, що періодично повторюються. Прикладом таких навантажень є навантаження, що діють на шток поршня і шатун в двигуні внутрішнього згоряння.
Всі динамічні навантаження є менш сприятливими для роботи елементів конструкцій, ніж навантаження статистичні.
Як уже відзначалося, зовнішні сили, що діють на тіло, викликають в ньому додаткові внутрішні сили (силу опору матеріалу). Оскільки вони діють у внутрішніх точках стержня, то їх можна визначити методом перерізів, суть якого полягає в тому, що зовнішні сили, прикладені до відрізаної частини тіла, зрівноважуються внутрішніми силами, які виникають в перерізі і замінюють дію відкинутої частини на залишену. Теоретичною основою методу перерізів служить відоме твердження статики: якщо тверде тіло перебуває у рівновазі, то зрівноважена кожна його частина.
Розглянемо стержень, що перебуває у рівновазі під дією системи сил Р1, Р2, Р3, Р4, Р5 (мал. 2.14а).
Деякою площиною переріжемо його умовно на дві частини І і ІІ. Оскільки зовнішнє навантаження на кожну частину являє собою простору систему сил, то внутрішні сили на основі розв’язку першої задачі статики приводяться до половинного вектора і головного момента .
Записавши для однієї з частин І або ІІ умови рівноваги просторової системи сил, ми дістанемо шість рівнянь для визначення компонентів головного вектора і головного момента внутрішніх сил.
Метод перерізів дозволяє визначити статистичний еквівалент внутрішніх сил пружності, але не дає можливості виявити закон їх розподілу по перерізу. Для цього необхідні додаткові припущення про характер деформації. Ці припущення вводять при вивченні різних видів деформації стержня. Під час дії на стержень просторової системи сил із рівнянь рівноваги (1.48) – (1.49) можна знайти в поперечному перерізі три складові сили Nz, Qx, Qy головного вектора , які направлені вздовж координатних осей, і три складові Mx, My, Mz головного момента (мал. 2.15). Вказані сили і моменти є внутрішні силові фактори, що виникають в поперечному перерізі стержня. Вони називаються:Nz — поздовжня сила; Qx, Qy — поперечні сили; Мх, Му — згинаючі моменти, Mz — крутячий момент.
В залежності від зовнішнього навантаження окремі внутрішні силові фактори можуть дорівнювати нулю. Так, при деформації розтягу або стиску відмінною від нуля буде лише поздовжня сила Nz, а при зсуві — Qx, або Qy не дорівнюють нулю. Якщо , а всі інші силові фактори дорівнюють нулю, то маємо деформацію кручення. При наявності в поперечному перерізі лише одного із моментів Мх або Му виникає деформація чистого згину. Якщо в перерізі діє кілька силових факторів, то маємо складну деформацію.
Оскільки внутрішні сили по перерізу стержня розподілені неперервно, то для характеристики їх інтенсивності вводять поняття напруження. Внутрішня сила, що припадає на одиницю площі перерізу стержня в околі деякої його точки А, називається напруженням в цій точці. Оскільки напруження являє собою відношення внутрішньої сили, що діє на деяку площадку, до її площі, то одиниця вимірювання напруження — Па (Н/м2).
Через одну і ту ж точку тіла можна провести безліч перерізів, що розділяють стержень на дві частини. Напруження в цій точці для кожного з перерізів у загальному випадку будуть різними. Таким чином, напруження в заданій точці залежить від орієнтації проведеного через цю точку перерізу, тому не можна говорити про напруження, не вказуючи на переріз, в якому вони виникають.
Напруження в точці характеризується величиною і напрямком, тобто являє собою закріплений вектор, який нахилений до перерізу під прямим кутом.
Нехай в точці А перерізу стержня по малій площадці ΔS діє сила під деяким кутом до площадки (мал. 2.16а). Напруження р, що виникає в цій точці, обчислюється за формулою .
Розкладемо повне напруження р на нормальну до площадки ΔS і дотичну до неї складові (мал. 2.16б).
Складову по нормалі називають нормальним напруженням в заданій точці перерізу і позначають буквою σ; дотичну складову називають дотичним напруженням і позначають буквою τ.
Виходячи з означення напруження в точці перерізу, приходимо до висновку, що поява нормальних напружень в околі точки зумовлена деформацією розтягу або стиску, а поява дотичних напружень — деформацією зсуву.
§2. Деформація розтягу і стиску
2.1. Напруження в поперечних перерізах. Якщо до торців прямолінійного стержня прикладено дві зрівноважені сили, що діють вздовж його осі, то в стержні виникає деформація розтягу або стиску (мал. 2.17а). В більшості випадків практики власна вага стержня мала в порівнянні з зовнішніми силами, тому нею можна знехтувати при визначенні напружень і деформацій.
Приймемо додаткові робочі гіпотези, характерні для розтягу або стиску, які підтверджуються даними експериментів і результатами точного розв’язку даної задачі в теорії пружності.
1. Вважаємо, що стержень складається із однакових поздовжніх волокон, які можуть лише розтягуватися або стискуватися, не чинячи бокового тиску одне на одне.
2. Зовнішні сили діють вздовж осі стержня.
3. Стержень має призматичну або циліндричну форму.
На підставі приведених припущень і гіпотези плоских перерізів (перерізи після деформації залишаються плоскими і лише переміщаються паралельно своєму недеформованому положенню) робимо висновок, що нормальні напруження σ в поперечному перерізі розподілені рівномірно. Їх величину знайдемо, розділивши поздовжню силу N, що діє в розглядуваному перерізі, на його площу S
(2.1)
Поздовжня сила N методом перерізів завжди може бути виражена через зовнішні сили. Визначимо її в поперечних перерізах стержня, зображеного на мал. 2.17а. Розріжемо стержень довільним перерізом І-І, розглянувши рівновагу нижньої частини (мал. 2.17б), знаходимо .
Силу N будемо вважати додатною, якщо вона приводить до розтягу стержня, а у випадку стиску — від’ємною. Зміну поздовжньої сили по довжині стержня зручно подавати у вигляді діаграми, яка називається епюрою. Для стержня, зображеного на мал. 2.17а, епюра побудована на мал.2.17в.
Якщо на стержень діє система сил, то епюра N матиме стрибкоподібну форму. Розглянемо приклад побудови епюри поздовжніх сил.
Приклад 1. Стержень одним кінцем жорстко защімлений і навантажений осьовими силами Р1, Р2, Р3 (мал. 2.18а). Побудувати для цього стержня епюру поздовжніх сил, якщо Р1=Р, Р2=3Р, Р3=5Р.
Розв’язування. Розбиваємо стержень на три ділянки, межі яких визначаються заданими силами. Запишемо вирази N на кожній із ділянок, враховуючи те, що поздовжня сила в будь-якому перерізі стержня дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх сил, які діють нижче від розглядуваного перерізу: І ділянка ; ІІ ділянка ; ІІІ ділянка . Епюра N побудована на мал. 2.18б.
Відзначимо, що в даному прикладі побудову епюри N починали з нижнього (вільного) кінця. Якщо починати побудову з верхнього, то попередньо необхідно обчислити реакцію в защемленні. Якщо стержень має ступінчасту форму (на кожній з ділянок площа поперечного перерізу різна), то процес визначення поздовжніх сил такий самий, як і для стержня сталого поперечного перерізу.
Для побудови епюри нормальних напружень по довжині стержня необхідно, згідно формули (2.1), розділити епюру поздовжніх сил N на площу поперечного перерізу стержня S. У випадку ступінчастого стержня слід врахувати, що для кожної ділянки значення S різні.
Зауважимо, що формула (2.1) справедлива лише для стержнів сталого поперечного перерізу. У випадку порушення призматичної форми стержня, розподіл напружень в поперечному перерізі нерівномірний і формула (2.1) виражає лише середнє напруження. Якщо переріз стержня ослаблений отвором (мал. 2.19), напруження також розподілені нерівномірно, причому біля контуру отвору спостерігається значне підвищення напружень в порівнянні з напруженнями в стержні без отвору, яке називається концентрацією напружень. Те ж саме спостерігається при наявності щілин, викружок, різкого переходу одного поперечного розміру в інший.
Зростання напружень у наведених прикладах має локальний характер, тому таке напруження називається місцевим. Відношення місцевого напруження, що визначається формулою (2.1) з урахуванням ослаблення площі перерізу, називається коефіцієнтом концентрації напружень.
Концентрація напружень при статичному навантаженні небезпечна лише для стержнів з крихкого матеріалу.
2.2. Деформації при розтягу або стиску. Для більшості конструкційних матеріалів між величиною абсолютного видовження (укорочення) Δl і поздовжньою силою N, що виникає в стержні сталого перерізу, існує залежність
, (2.2)
яка встановлена експериментально і справедлива в певних межах навантаження. Постійна Е являє собою фізичну характеристику матеріалу і називається модулем пружності або модулем Юнга. Величина ES, яка входить в (2.2), називається жорсткістю стержня при розтягу або стиску і має розмірність сили.
Врахувавши, що — відносне видовження, а — нормальне напруження в поперечному перерізі, співвідношення (2.2) подамо у вигляді
. (2.3)
Рівність (2.3) являє собою закон Гука (встановлений англійським фізиком Р.Гуком в 1660 році).
Визначимо фізичний зміст модуля Юнга. Поклавши в (2.3) ε = 1 (Δl =l), дістанемо σ = Е.
Остання рівність показує, що модуль Юнга визначає, які нормальні напруження потрібно створити в перерізах стержня, щоб його довжина збільшилась (зменшилась), в два рази. На практиці таких напружень реалізувати не можна. Числові значення Е для різних матеріалів встановлюються експериментально і приводяться в довідниках.
Закон Гука справедливий не для всіх конструкційних матеріалів. Деякі з них — чавун, скло, окремі пластмаси — мають при незначних напруженнях помітні відхилення від закону Гука. Незважаючи на це, в силу гіпотези 5, умовно приймемо в опорі матеріалів, що цей закон справедливий у всіх випадках.
Розтяг і стиск викликають поперечну деформацію стержня, причому при розтягу стержня його поперечні розміри зменшуються, а при стиску — збільшуються. Позначимо через Δb = b1 – b (де b — початковий поперечний розмір, а b1 — кінцевий) абсолютну зміну поперечного розміру, а через — відносну поперечну деформацію стержня. Експериментами встановлено, що відношення поперечної деформації до поздовжньої для даного матеріалу при розтягу-стиску в певних межах навантаження є сталим
. (2.4)
Ця величина називається коефіцієнтом Пуассона. Діапазон його зміни від 0 до 0,5. Середнє значення коефіцієнта Пуассона для металів дорівнює 0,3. Якщо відоме υ, за формулою (2.4) можна, знаючи поздовжню деформацію, знайти поперечну. Це означає, що формули (2.1) – (2.4) дозволяють визначити форму і розміри деформованого стержня, на який діє зовнішнє осьове навантаження.
Розглянемо задачу про визначення переміщень точок, розміщених на осі стержня. Якщо на стержень діє одна зовнішня сила, то видовження навантаженого участка визначається формулою (2.2). У випадку дії на стержень системи сил її пряме застосування неможливе через зміну величини N по довжині стержня. Для визначення повного видовження стержня потрібно знайти за формулою (2.2) видовження кожної його ділянки, а результати алгебраїчно додати.
Для стержня, зображеного на схемі 2.18а, розрахункова формула має вигляд Δl =Δl1 + Δl2 + Δl3, причому Δl1, Δl2, Δl3 — видовження окремих участків.
Врахувавши значення N з прикладу 1, знаходимо за формулою (2.2)
або
.
В останньому співвідношенні перший доданок правої частини є видовження стержня від сили Р1, другий доданок — видовження від сили Р2, третій доданок — видовження від сили Р3.
Отже, ми дістали результат, який збігається з принципом незалежності дії сил: повна деформація стержня дорівнює алгебраїчній сумі деформацій від кожної сили окремо.
2.3. Потенціальна енергія деформації.Зовнішні сили, що розтягують або стискують стержень, виконують певну роботу на переміщення їх точок прикладання. В результаті у деформованому стержні накопичується потенціальна енергія деформації, яка після зняття зовнішніх сил повертає стержень в початкове положення.
В межах закону Гука потенціальна енергія деформації П дорівнює роботі зовнішніх сил А.
При статичному навантаженні сили зростають плавно від нуля до свого кінцевого значення Р, тому їх робота, а отже і потенціальна енергія, обчислюється за формулою
, (2.5)
де множник ½ враховує ефективне (середнє) значення сили Р.
Підставляючи в (2.5) замість Р поздовжню силу N, а замість Δl його значення із (2.2), отримаємо
. (2.6)
Питомою потенціальною енергією називається енергія, віднесена до одиниці об’єму
. (2.7)
2.4. Експериментальне визначення розтягу-стиску. Для визначення механічних характеристик конструкційних матеріалів, яке дозволяють оцінити їх властивості, проводять лабораторні випробування на зразках, виготовлених певним чином із даного матеріалу. У більшості випадків ці зразки мають циліндричну або призматичну (у вигляді полоси) форму.
Спеціальні пристрої, що здійснюють розтяг (розривні машини) або стиск (преси), дозволяють випробувати зразок аж до його руйнування (розриву чи роздавлювання). В процесі навантаження зразка встановлюється залежність між величиною прикладеного навантаження Р і його абсолютним видовженням (укороченням) Δl, що відповідає даному навантаженню. Цей зв’язок реєструється з допомогою вимірювальних приладів або спеціального діаграмного пристрою, який є на більшості випробувальних машин. Пристрій в автоматичному режим викреслює діаграму в прямокутних координатах Р, Δl. Така діаграма називається діаграмою розтягу або стиску. Вона для кожного матеріалу є характеристикою і відображає його механічні властивості.
На мал. 2.20 зображена діаграма розтягу для мало вуглецевої сталі типу Ст.3, що має яскраво виражені пластичні властивості. Оскільки величина Δl залежить від довжини стержня і площі поперечного перерізу, то, поділивши координату деформації на l, а силову координату на S, дістанемо діаграму розтягу, не зв’язану з геометрією зразка (мал. 2.21). Ця діаграма має п’ять характерних точок, ординати яких визначають механічні характеристики матеріалу: границю пропорціональності σпц, границю пружності σпр, границю текучості σт, границю міцності (тимчасовий опір) σв і розривне напруження σр.
Границя пропорціональності — напруження, яке визначає межу застосування закону Гука. Ділянка діаграми, розміщена нижче цієї точки, прямолінійна. Тангенс кута нахилу цієї ділянки до осі абсцис дорівнює модулю Юнга даного матеріалу .
Границі пружності відповідає напруження, при якому закон Гука вже не виконується, але залишкові деформації ще дуже малі (не перевищують 0,03%). На практиці границю пружності часто ототожнюють з границею пропорціональності.
Границя текучості — це напруження, при якому різко зростають деформації без прикладання додаткових сил. З появою текучості матеріалу на діаграмі з’являється горизонтальна ділянка — площадка текучості. Не всі пластичні матеріали мають чітко виражену площадку текучості: чим жорсткіший матеріал, тим ця площадка менша або зовсім відсутня.
Границя міцності (тимчасовий опір) являє собою напруження, що відповідає найбільшій силі. При досягненні матеріалом границі міцності в зразку появляється місцеве звуження, що називають шийкою. Поява шийки свідчить про початок руйнування зразка. При збільшенні шийки опір стержня зменшується і він руйнується при силі значно меншій, ніж максимальна.
Розривне напруження — напруження в момент розриву зразка.
Названі вище механічні характеристики матеріалу — величини умовні, оскільки при їх визначенні не враховувалась зміна площі поперечного перерізу зразка. Хоч ця зміна в межах закону Гука дуже мала, однак при появі шийки вона починає помітно зростати.
Якщо побудувати діаграму з врахуванням зміни площі поперечного перерізу, то вона називається істинною діаграмою розтягу. На мал. 2.21 така діаграма зображена штриховою лінією.
Величини σпц, σпр, σт, σв і σр це характеристики міцності матеріалу. Чим вищі ці характеристики, тим матеріал міцніший. Крім названих величин велике значення мають і характеристики пластичності, до яких можна віднести: відносне залишкове видовження при розриві, відносне зменшення площі перерізу в місці розриву, а також величину площадки текучості на діаграмі.
Відносне залишкове видовження при розриві обчислюється за формулою
,
де l, l1 — довжина розрахункової частини стержня до випробування і після розриву відповідно.
Відносне зменшення площі перерізу в місці розриву дорівнює
.
Тут S — площа перерізу недеформованого зразка, S1 — площа перерізу в місці розриву.
Чим вищі значення σ і ψ, тим матеріал пластичніший.
Випробування на стиск проводиться на коротких зразках у вигляді кубика або циліндра. Для м’яких мало вуглецевих сталей діаграма стиску показана на мал. 2.22.
Характерною особливістю стиску є те, що величини σпц, σпр, σт приблизно такі ж, як і при розтягу. При збільшенні навантаження поза границею текучості відбувається різке розширення зразка внаслідок зростання пластичних деформацій (зразок перетворюється на тонкий диск). Роздавлювання зразка з появою тріщин спостерігається рідко (для пластичних матеріалів).
В зв’язку з тим, що крихкі матеріали (чавун сірий, камінь, бетон, цегла і інші) слабо чинять опір розтягу, а в практичних конструкціях сприймають лише стискуючі сили, то їх випробовують тільки на стиск. Діаграма напружень для таких матеріалів зображена на мал. 2.23. Ця діаграма має лише одну характерну точку σв, яка відповідає максимальній силі, при якій появляються тріщини руйнування. Відзначимо, що навіть при великих навантаженнях для крихких матеріалів не виконується закон Гука.
Кожен із конструкційних матеріалів має свою діаграму випробування на розтяг або стиск, вигляд якої залежить від типу матеріалу, його хімічного складу, механічної і термічної обробки. Основні механічні характеристики найбільш поширених матеріалів приводяться в довідниках.
Якщо зразок з м’якої сталі навантажити до стану, вищого за границю текучості, і зняти навантаження (розвантажити), то діаграма розвантаження буде прямолінійною, паралельною ділянці, що відповідає дії закону Гука (мал. 2.24). це означає, що при випробуванні зразка аж до його розриву поряд з пластичною деформацією εпл має місце пружна деформація εпр.
Якщо через деякий час зразок повторно навантажити, то діаграма навантаження буде збігатися з діаграмою попереднього навантаження, при цьому границя текучості помітно збільшується, а поздовжнє видовження при розриві зменшується (матеріал стає більш жорстким). Таке явище називається „наклепом” матеріалу.
2.5. Практичний розрахунок на міцність при розтягу-стиску. Для забезпечення нормальної роботи елементів машин і споруд необхідно створити їм такі умови, які виключали б не тільки можливість руйнування, але й утворення залишкових деформацій, що могли б змінити розрахункову схему машин або споруди.
При розрахунках стержнів на міцність, жорсткість і стійкість ставиться вимога, щоб їх істинний напружено-деформований стан в умовах експлуатації не відповідав би небезпечному стану. Це досягається введенням коефіцієнта запасу, величина якого перш за все залежить від ступеня відповідності прийнятих допущень про розрахункову схему дійсним умовам роботи. Він повинен враховувати можливе відхилення експлуатаційних навантажень від розрахункових, неточність прийнятих методів розрахунку, неточність виготовлення деталей і інше.
Умови міцності вимагають, щоб напруження в перерізах стержня, які виникають внаслідок дії зовнішніх сил, не перевищували допустимих.
Допустимі напруження визначаються як небезпечні (що відповідають небезпечному стану стержня), поділені на коефіцієнт запасу k
, ,
де , — допустимі нормальні і дотичні напруження; σо, τо — небезпечні напруження.
Для пластичних матеріалів небезпечним напруженням є границя текучості σт, а для крихких матеріалів — границя міцності σв. Величини допустимих напружень для різних матеріалів в залежності від умов роботи регламентуються нормативами і приводяться в довідниках. Виходячи з вищесказаного, умову міцності стержня при розтягу-стиску можна записати у вигляді
. (2.8)
Вона дає змогу розв’язати такі інженерні задачі:
1. Проектний розрахунок (підбір перерізу стержня при відомих силах, що діють на нього).
2. Перевірочний розрахунок (визначення істинних напружень в стержні і порівняння їх з допустимими).
3. Визначення величини допустимого навантаження на стержень відомих розмірів.
Розв’язок першої задачі визначається формулою
, (2.9)
яка випливає з (2.8). Знаючи площу перерізу і його форму, можна визначити геометричні розміри.
Друга задача передбачає задання розмірів стержня і зовнішнього навантаження; потрібно визначити напруження в стержні (за формулою 2.1) і порівняти його з допустимим. Відхилення не повинне перевищувати 5%.
При розв’язку третьої задачі для бруса відомих розмірів визначається допустиме зусилля
, (2.10)
після чого методом перерізів визначається і відповідне допустиме зовнішнє навантаження.
Розглянемо приклад розрахунку на міцність з використанням формули (2.8).
Приклад 2. Визначити площі перерізів стальних елементів АВ і СВ кронштейна, зображеного на мал. 2.25, якщо Р = 50 кН, [σ] = 160 мПа.
Розв’язування. Вирізаємо вузол В, замінюючи дію стержнів внутрішніми силами , і запишемо умови рівноваги системи збіжних сил
Знак „-” вказує на те, що зусилля стискує. Використовуємо формулу (2.9) для кожного із стержнів
;
.
Тут враховано, що допустимі напруження на розтяг і стиск для сталі однакові.
У ряді випадків необхідні для розрахунку стержня внутрішні зусилля неможна знайти методом перерізів через те, що кількість умов статики, які можна записати для відсіченої частини стержня, недостатня. Задачі, в яких зусилля не можуть бути визначені з допомогою рівнянь статики, називаються статично невизначеними. При їх розв’язуванні складають додаткові умови деформування стержня, які називаються рівняннями сумісності деформацій.
У наступних розділах будуть розглядатися лише статично визначені задачі.
§3. Напружено-деформований стан в точці пружного тіла.
3.1. Просторовий напружений стан. Напруженим станом тіла в точці називають сукупність напружень, що діють по все можливих площадках, проведених через цю точку. Як відзначалося в §1, величина повного напруження, що діє в довільній площадці, залежить від її орієнтації.
Для визначення напруженого стану в точці твердого тіла, розглянемо елементарний паралелепіпед з ребрами dx, dy, dz, вирізаний в околі досліджуваної точки. Враховуючи малість його розмірів, приймемо допущення про рівномірний розподіл напружень по гранях паралелепіпеда. Ці напруження будемо вважати прикладеними в точці. Повні напруження, що діють на кожній грані, розкладемо на нормальну складову σ, направлену перпендикулярно відповідній грані, і дві дотичні складові τ, які направлені вздовж двох інших осей (мал. 2.26). На невидимих гранях паралелепіпеда виникають такі ж самі напруження протилежного знаку. Оскільки даний елемент перебуває у рівновазі, то, записавши моментну умову рівноваги відносно осі х, дістанемо
або .
Аналогічні співвідношення матимемо з момент них умов рівноваги відносно осей y і z
, .
Таким чином, ми довели закон парності дотичних напружень: у двох взаємно перпендикулярних площадках складові дотичних напружень, перпендикулярні до спільного ребра площадок, однакові за величиною і протилежні за знаком.
Закон парності дотичних напружень показує, що напружений стан в будь-якій точці тіла визначається шістьма складовими σх, σy, σz, τxy, τyz, τxz, які діють на трьох взаємно перпендикулярних площадках.
В курсі теорії пружності доводиться, що серед всеможливих площадок, проведених через дану точку напруженого тіла, завжди існують три взаємно перпендикулярні площадки, по яких дотичні напруження відсутні. Такі площадки називаються головними. Нормальні напруження, що діють по цих площадках, називаються головними напруженнями. Напрямки дії головних напружень називаються головними напрямками.
Отже, у загальному випадку навантаження в кожній точці тіла діють три головні напруження σ1, σ2, σ3, два з яких мають екстремальні значення: одне з них є найбільшим з усіх нормальних напружень, що діють в площадках, проведених через точку, а друге — найменшим.
Якщо в довільній точці напруженого тіла усі три головні напруження відмінні від нуля (вважаємо, що σ1>σ2>σ3), то такий напружений стан називається об’ємним або просторовим.
На основі вищесказаного можна зробити висновок: будь-який напружений стан в точці може бути поданий як результат розтягу або стиску в трьох головних напрямках (мал. 2.27).
Якщо одне з головних напружень дорівнює нулю, то такий напружений стан називається плоским, а у випадку рівності нулю двох головних напружень — лінійним (який нічим не відрізняється від звичайного центрального розтягу стиску).
3.2. Плоский напружений стан. Нехай по чотирьох гранях елементарного паралелепіпеда діють головні напруження σ1 і σ2. Грань, вільну від напружень, сумістимо з площиною мал. 2.28а.
Розглянемо довільну площадку ab і визначимо в ній нормальні σα і дотичні τα напруження. Положення цієї площадки визначається кутом α, який утворює нормаль до площадки з головним напрямком, що відповідає напруженню σ2.
Розглянемо рівновагу тригранної призми з основою abc, відсіченої від паралелепіпеда площиною ab.
Координатні осі u, V направимо по напрямках напружень σα і τα відповідно. Позначимо площу грані ab через dS. Тоді рівняння рівноваги системи збіжних сил матимуть вигляд
;
.
Розділивши останні рівності на dS, знаходимо після певних перетворень
;
(2.11)
Найбільші дотичні напруження, як видно з (2.11), діють в площадках, нахилених під кутом до головних напрямків і дорівнюють
. (2.12)
Обчислимо напруження, що діють в площадці cd, перпендикулярній до ab. Для цього підставимо в (2.11) замість кута α кут . В результаті нескладних перетворень знаходимо
;
. (2.13)
Порівнявши вирази (2.11) і (2.13), дістанемо
;
Перша рівність показує, що сума нормальних по двох взаємно перпендикулярних площадках є величина стала і дорівнює сумі головних напружень, друга рівність являє собою закон парності дотичних напружень.
Якщо в (2.11), (2.12) прийняти , , то отримаємо відповідні співвідношення для визначення напружень в косих перерізах стержня при його розтягу або стиску.
3.3. Узагальнений закон Гука. Розглянемо деформацію елементарного паралелепіпеда, який перебуває під дією головних напружень σ1, σ2 і σ3 (мал. 2.27).
На основі принципу незалежності дії сил повна відносна деформація в напрямку дії напруження σ1 дорівнює алгебраїчній сумі деформацій від кожного напруження
.
Тут враховано, що якщо напруження σ2 і σ3 розтягуючі, то в напрямку дії напруження σ1 вони приводять до стиску (ν — коефіцієнт Пуассона матеріалу).
Аналогічно визначаються лінійні деформації в інших головних напрямках. Остаточний зв’язок між головними деформаціями і головними напруженнями має вигляд
; ;
. (2.14)
Співвідношення (2.14) називаються узагальненим законом Гука для просторового напруженого стану. У випадку плоского напруженого стану (σ3=0) ці співвідношення запишуться так
; . (2.15)
Визначимо питому потенціальну енергію деформації, що накопичується в одиничному об’ємі тіла за рахунок пружних деформацій. Розглянемо кубик з одиничним ребром, який перебуває під дією головних напружень σ1, σ2, σ3. Потенціальна енергія, яка накопичується в такому кубику, визначається сумою робіт всіх сил, що діють по його гранях.
На підставі формули (2.7) маємо
.
Підставляючи замість ε1, ε2, ε3 їх значення із (2.14), дістанемо після деяких перетворень
(2.16)
Питому потенціальну енергію можна подати як суму двох складових:
,
де Пv — енергія, зумовлена зміною об’єму кубика
, (2.17)
Пф — енергія зміни форми
(2.18)
У випадку лінійного напруженого стану
; ; (2.19)
§4. Теорії міцності в опорі матеріалів
Якщо стержень перебуває в умовах лінійного (простого) напруженого стану, то оцінка його міцності може бути здійснена за допомогою співвідношень типу (2.8)
або ,
де , — відповідні допустимі напруження при розтягу і стиску, які встановлюються в залежності від граничного стану матеріалу. Оскільки величина єдиного головного напруження при лінійному напруженому стані може бути визначена дослідним шляхом, то оцінка міцності стержня досить проста. Якщо напружений стан стержня складний (просторовий або плоский), то при оцінці його міцності необхідно врахувати наявність трьох або двох головних напружень. При цьому небезпечний стан матеріалу залежить не тільки від величин σ1, σ2, σ3, але й від співвідношень між ними.
Через неможливість експериментального визначення критеріїв небезпечного стану при складному напруженому стані користуються певними гіпотезами, які пояснюють причини руйнування матеріалу. Ці гіпотези називаються теоріями міцності. Вони дозволяють скласти умови міцності при складному напруженому стані, виходячи з умов міцності матеріалу при просторовому розтягу або стиску.
Загальний запис умови міцності при складному напруженому стані має вигляд
(2.20)
де σП — розрахункове або зведене напруження при складному напруженому стані.
Формули зведених напружень встановлюються відповідними теоріями міцності в залежності від прийнятих гіпотез.
Перша теорія міцності (теорія найбільших напружень). В основу цієї теорії покладено припущення, що небезпечний стан матеріалу настає тоді, коли максимальне головне напруження досягає значення, яке відповідає небезпечному стану при просторовому розтягу або стиску. Для складного напруженого стану або , тому умова міцності матеріалу, згідно (2.20) матиме вигляд
або . (2.21)
Недолік цієї теорії: вона не враховує двох інших головних напружень σ2, σ3 або σ1, σ2.
Друга теорія міцності (теорія найбільших відносних деформацій) — виходить з гіпотези про те, що причиною руйнування матеріалу є поява
найбільш відносних деформацій. За цією теорією складний і простий напружений стан є рівнонебезпечними, якщо найбільш відносні деформації у них однакові .
Використавши формули (2.3) і (2.14), умову рівноміцності зобразимо так: .
Тут враховано умову σ1>σ2>σ3.
Якщо при простому напруженому стані допустиме напруження дорівнює , то умова міцності при складному напруженому стані на підставі (2.20) виразиться рівністю
. (2.22)
Друга теорія міцності, як і перша, недостатньо підтверджується дослідами, що пояснюється неврахуванням особливостей реальної будови тіл.
Третя теорія міцності (теорія найбільших дотичних напружень) вважає, що причиною руйнування матеріалу є дотичні напруження. В основу цієї теорії покладено припущення про те, що два напружених стани — складний і простий — вважаються рівноміцними, якщо найбільші дотичні напруження в них однакові
.
Найбільші дотичні напруження, згідно (2.12), визначаються формулами
; .
Підставляючи в умову рівноміцності, одержимо .
Якщо — допустиме напруження при простому напруженому стані, то на підставі (2.20), умова міцності при складному напруженому стані прийме вигляд
. (2.23)
Третя теорія міцності відображає настання в матеріалі стану текучості. Недоліком цієї теорії є те, що вона не враховує проміжного головного напруження.
Четверта теорія міцності (енергетична теорія). Згідно цієї теорії, складний і простий напружені стани вважаються рівноміцними, якщо в них однакова потенціальна енергія зміни форми, накопичена до моменту настання небезпечного стану .
З врахуванням (2.18) і (2.19) умову рівноміцності можна зобразити так:
Якщо при простому напруженому стані допустиме напруження дорівнює , то умова міцності при складному напруженому стані виразиться співвідношенням
(2.24)
Енергетична теорія міцності відображає настання текучості матеріалу. Вона добре підтверджується дослідами для пластичних матеріалів і набула великого поширення в інженерній практиці.
Крім названих вище, широке використання при дослідженнях складного напруженого стану мають теорії міцності Мора, П.П. Баландіна, І.М. Миролюбова і інші.
§5. Деформація зсуву
5.1. Чистий зсув. Розглянемо окремий випадок плоского напруженого стану, коли на головних площадках діють однакові за величиною і протилежні за знаком головні напруження (мал.2.29).
При такому напруженому стані на площадках, нахилених до головних площадок під кутом , як видно з формул (2.11), нормальні напруження дорівнюють
,
а дотичні дорівнюють головним
.
Плоский напружений стан, при якому на взаємно перпендикулярних площадках діють тільки дотичні напруження, називається чистим зсувом, а площадки, на яких відсутні нормальні напруження — площадками чистого зсуву.
При чистому зсуві прямокутний елемент, вирізаний в околі деякої точки, перебуває в умовах зсуву, видовження його сторін дорівнюють нулю.
Розглянемо прямокутний кубик, який перебуває в умовах чистого зсуву. На мал. 2.30 зображена тільки його фасадна грань abcd.
Оскільки деформації кубика малі, то абсолютне видовження Δl діагоналі ас можна прийняти рівними С1С2, а трикутник СС1С2 — рівнобедреним і прямокутним .
Враховуючи, що (l — довжина діагоналі ас), , дістанемо
або . (2.25)
Застосувавши до волокна ас узагальнений закон Гука (2.15) при , , можемо записати .
Враховуючи, що при чистому зсуві , на підставі співвідношення (2.25) отримаємо
. (2.26)
Ввівши позначення
, (а)
Із (2.26) знаходимо зв’язок між напруженням τ і деформацією γ
, (2.27)
який називається законом Гука при зсуві. Величина G залежить від механічних характеристик матеріалу і називається модулем пружності другого роду або модулем зсуву. Вона для різних матеріалів визначається
експериментально і приводиться в довідниках.
Для встановлення фізичного змісту модуля зсуву G покладемо в (2.27) .
Тоді .
Остання рівність показує, що модуль зсуву являє собою дотичне напруження, яке потрібно створити на гранях квадрата, щоб він деформувався у ромб з гострим кутом величиною . На практиці таких напружень реалізувати не можна.
Співвідношення (а) являє собою залежність між трьома пружними характеристиками матеріалу: модулем Юнга Е, модулем зсуву G і коефіцієнтом Пуассона ν.
Якщо позначити через S площу грані відрізаного кубика, а через Q — сумарну силу, що діє по його гранях, то з урахуванням рівностей і маємо пружне лінійне переміщення при зсуві
. (2.28)
5.2. Потенціальна енергія деформації при зсуві. Розглянемо стержень у формі прямокутного паралелепіпеда, зображеного на мал. 2.31. Одну з його граней закріпимо нерухомо, а до інших граней прикладемо статичні дотичні сили Q. Верхня грань зсунеться відносно закріпленої на величину ΔS.
В межах закону Гука робота, виконана силою Q на переміщенні ΔS, дорівнює потенціальній енергії деформації і обчислюється за формулою .
Зусилля, що діють по бокових гранях, перпендикулярні до переміщення ΔS, тому роботи не виконують. Підставляючи замість ΔS його
значення з (2.28), дістанемо
,
де S — площа зсуву.
Питиму потенціальну енергію знайдемо за формулою
,
де — дотичні напруження зсуву.
5.3. Практичний розрахунок заклепкових з’єднань на зріз і зминання. Прикладом елемента металічних конструкцій, який працює на деформацію, близько до зсуву, може служити заклепка.
Розглянемо роботу заклепки, що з’єднує два металевих листи (мал.2.32а). Нехай на листи діють сили Р, що прикладені перпендикулярно дот заклепки і намагаються зсунути листи один відносно другого.
При цьому на заклепку передаються навантаження, які при збільшенні сили Р зможуть перерізати заклепку по площині mn.
Для визначення дотичних напружень, що діють в площині mn, умовно відкинемо верхню частину заклепки, а її дію на нижню замінимо внутрішніми силами. Нехтуючи згином заклепки і прийнявши, що дотичні напруження в її перерізі розподілені рівномірно, знаходимо з умов рівноваги нижньої частини
,
де SЗР — площа поперечного перерізу заклепки.
Якщо позначити через допустиме дотичне напруження матеріалу, то умова міцності заклепки на зріз матиме вигляд
. (2.30)
Величину допустимого напруження на зріз звичайно приймають
.
Якщо заклепкове з’єднання містить п заклепок і k листів, то
.
Тоді розрахункова формула (2.30) запишеться так
. (2.31)
ця формула при проектному розрахунку дозволяє визначати одну з величин d, n, k або Р, якщо всі інші задані (Р — сумарне навантаження, що діє з одного боку заклепкового з’єднання).
Оскільки під час роботи заклепкового з’єднання відбувається стиск двох тіл з циліндричними поверхнями, то в зоні контакту виникають нормальні напруження зминання σЗМ. При великих значеннях σЗМ може відбуватися зминання заклепки або листа, внаслідок чого отвір або переріз заклепки набере овальну форму. Розрахунок заклепкового з’єднання на зминання проводять приблизно: площу зминання умовно приймають рівною площі діаметрального перерізу , де d — діаметр отвору або заклепки, δmin — товщина тоншого із листів. Це зумовлено нерівномірним законом розподілу контактних напружень в зоні зминання.
Умова міцності на зминання записується у вигляді
або
, (2.31)
де — допустиме напруження матеріалу на зминання. Звичайно приймають .
Приклад 3. Визначити кількість заклепок діаметром d=5мм, необхідних для з’єднання трьох листів товщиною δ=10мм, якщо Р=120кН, , (мал. 2.33).
Розв’язування. В даному випадку k=3. З умови міцності на зріз (2.31) знаходимо
.
На підставі умови задачі внутрішній лист має меншу площу зминання, ніж два зовнішніх, тому δmin=10мм.
На підставі формули (2.31)
.
Із двох значень п, визначених з умов міцності на зріз і зминання, вибираємо більше п=10.
Таким же методом проводиться розрахунок на зріз і зминання болтових з’єднань.
§6. Кручення круглих стержнів
деформація кручення викликається зрівноваженою системою пар, що діють в площинах, перпендикулярних до осі стержня (вала). Якщо вал закріплений в підшипниках А, В, то деформації кручення буде зазнавати ділянка CD (мал. 2.34).
Елементарним шляхом задача про кручення стержня розв’язується лише для стержнів круглого поперечного перерізу.
Наочне уявлення про деформацію кручення можна дістати на моделі круглого гумового стержня, на поверхні якого нанесена сітка напрямних (кола) і твірних (прямолінійні відрізки) (мал. 2.35а). якщо один кінець стержня закріпити нерухомо, а до іншого прикласти пару сил з моментом МСК, то внаслідок деформації напрямні перейдуть самі в себе, твірні циліндра перетворяться в гвинтові лінії, а квадрати на поверхні — в ромби (мал. 2.35б).
Результати точного розв’язку цієї задачі методами теорії пружності і дані експериментальних досліджень дозволяють прийняти такі додаткові робочі гіпотези:
1. Плоскі поперечні перерізи круглого стержня залишаються плоскими в процесі деформації. Вони можуть лише повертатися один відносно одного навколо свого центра.
2. Радіуси поперечних перерізів залишаються прямолінійними.
3. Відстані між двома будь-якими поперечними перерізами не змінюються в процесі деформації.
Ці гіпотези показують, що деформація кручення проявляється у взаємному повороті перерізів і вимірюється в радіанах. Величина цього повороту, як показують досліди, пропорціональна відстані між перерізами. Оскільки відстань між поперечними перерізами залишається незмінною, то це означає, що нормальні напруження в них дорівнюють нулю. Дотичні напруження, що виникають в поперечних перерізах, в силу гіпотези 2, змінюються за лінійним законом.
Таким чином, деформацію кручення можна розглядати як чистий зсув, викликаний взаємним поворотом перерізів.
Якщо один кінець круглого стержня защемлений, а до другого прикладено скручуючий зовнішній момент МСК, то внутрішні сили в довільному перерізі стержня зводяться до пари сил, момент якої називається крутячим моментом і позначається МКР. По величині крутячий момент дорівнює скручую чому МСК, але протилежний за знаком. В загальному випадку навантаження крутячий момент в довільному перерізі стержня дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх моментів, що діють по один бік від розглядуваного перерізу. Якщо один кінець стержня защемлений, то суму моментів знаходять з боку незакріпленого кінця (при цьому відпадає необхідність визначати реакцію в защемленні).
6.1. Визначення напружень і деформацій. Для визначення дотичних напружень в поперечних перерізах виділимо із стержня елементарну циліндричну трубку товщиною dr з внутрішнім радіусом r. Розглянемо елемент abcd, вирізаний із цієї трубки (мал. 2.36а). До деформації він являє собою прямокутний паралелепіпед з ребрами dz, ab і dp. Внаслідок дії в поперечному перерізі крутячого момента відбувається зсув цього паралелепіпеда на кут g. На мал. 2.36б деформований паралелепіпед зображений штриховою лінією. Кут зсуву верхньої його грані відносно нижньої співпадає з відносним кутом повороту відповідних перерізів стержня і дорівнює
,
де , — абсолютний зсув паралелепіпеда.
Відносний зсув обчислюється за формулою
.
Виключимо з двох останніх рівностей величини і . Тоді або .
Використавши закон Гука при зсуві (2.27), маємо формулу для визначення дотичних напружень
. (2.32)
Ця формула показує, що дотичні напруження вздовж радіуса поперечного перерізу змінюються по лінійному закону. На підставі закону парності дотичних напружень, такі ж напруження будуть діяти в поздовжніх перерізах стержня (мал. 2.37). цим і пояснюється поява поздовжніх тріщин при скручуванні стержня із волокнистого матеріалу. Формула (2.32) незручна для практичного використання, бо містить невідому величину . Виразимо дотичні напруження через внутрішні сили, що виникають в перерізі стержня, тобто через крутячий момент МКР.
У площині поперечного перерізу стержня виділимо елементарну площадку dS і обчислимо момент сил, що діють на неї, відносно центра ваги перерізу (мал. 2.38) .
Сумарний крутячий момент МКР знайдемо шляхом інтегрування по площі поперечного перерізу
.
Підставляючи значення t із (2.32) і враховуючи, що для заданого перерізу величина постійна, одержимо
.
Вираз являє собою полярний момент інерції площі перерізу вала IP, тому останню рівність можна записати у вигляді
. (2.33)
Враховуючи (2.33) із (2.32) дістанемо формулу для визначення дотичних напружень в довільній точці поперечного перерізу
. (2.34)
Як видно з останньої формули, максимальні напруження діють в точках, розміщених на контурі поперечного перерізу (r=r).
Поклавши в (2.34) r=r, маємо
. (2.34)
де — полярний момент опору поперечного перерізу стержня.
Нормальні напруження в поперечних перерізах стержня при його крученні дорівнюють нулю.
Вище було встановлено, що по гранях елемента abcd (мал. 2.36а) діють лише дотичні напруження, тобто такий елемент перебуває в умовах чистого зсуву. Враховуючи властивості чистого зсуву (п.5.1), робимо висновок, що на площадках, нахилених під кутом до осі стержня, діють тільки нормальні напруження s1, s2 (мал. 2.37), причому . Ці напруження називаються головними напруженнями при крученні.
Для визначення повного кута закручення стержня на ділянці, що деформується, проінтегруємо рівність (2.33) по довжині стержня
. (2.35)
Величина GIP , яка має розмірність (), називається жорсткістю стержня на кручення.
Зауважимо, що формула .(2.35) має місце при сталому на довжині l крутячому моменту. Якщо крутячий момент по довжині стержня змінюється стрибкоподібно, або стержень має ступінчасту зміну перерізу, то взаємний кут повороту кінців вала визначається сумуванням кутів закручування по ділянках, на яких величини МКР і ІР постійні.
Відносний кут закручування стержня обчислюється за формулою
. (2.36)
6.2. Потенціальна енергія деформації при крученні. Якщо при крученні стержня з одним закріпленим кінцем скручуючий момент МСК зростає від нуля до кінцевого значення МСК плавно, то б межах границі
пропорціональності має місце формула (2.35). При деформації стержня
момент МСК виконує роботу
,
яка дорівнює потенціальній енергії, що накопичується в стержні під час кручення. Підставляючи замість j його значення з (2.35), знаходимо формулу для обчислення потенціальної
. (2.37)
При припиненні дії скручуючого момента МСК потенціальна енергія повертає (розкручує) стержень в початкове (недеформоване) положення .
6.3. Розрахунок валів на кручення. Міцність при крученні стержня круглого суцільного або трубчастого поперечного перерізу, згідно з (2.34), визначається умовою
, (2.38)
де —допустиме напруження при крученні.
Співвідношення (2.38) служить підставою для:
1. Визначення необхідного діаметра вала при відомому крутячому моменту і допустимому напруженню (проектний розрахунок).
2. Перевірки напружень, що виникають в стержні відомих розмірів при заданому навантаженні (перевірочний розрахунок).
3. Визначення допустимого момента, який може бути переданий валом з відомим діаметром і заданим допустимим напруженням.
Крім забезпечення умови міцності, при проектуванні валів вимагається, щоб вал мав достатню жорсткість, тобто щоб його відносний кут закручування не перевищував деякої наперед заданої величини , яка називається допустимим кутом закручування.
Виходячи з формули (2.36), умову жорсткості вала запишемо у вигляді
. (2.39)
Розглянемо задачу визначення діаметра суцільного і кільцевого (трубчастого) перерізу з умов міцності і жорсткості.
Для суцільного вала
; ,
для трубчастого
; ,
Де внутрішній і зовнішній діаметри.
Підставляючи ці значення в умови міцності (2.38): і жорсткості (2.39), знаходимо.
Суцільний вал
; (2.40)
Трубчастий вал
; (2.41)
При одночасному розрахунку на міцність і жорсткість вибирають більший діаметр.
Для визначення найбільшого крутячого момента, що діє в перерізі стержня, необхідно побудувати епюру МКР.
Розглянемо побудову такої епюри для стержня, зображеного на