Главная | Обратная связь

I. Двохопорна балка.

а) Нехай зовнішнє навантаження на балку являє собою зосереджену силу Р (мал.2.46). Для визначення опорних реакцій R_A і R_B скла­даємо моментні умови рівноваги

; ,

звідки

; .

Додавши дві останні рівності рівноваги . Це означає, що реакції визначені правильно.

Побудову епюр Q і М будемо проводити по характерних ділянках. Вибираючи довільний пе­реріз ділянки, віддале­ний від опори на відстань Z, запишемо на основі правил визначення Q і М їх аналітичні вирази (на І ділянці розглянемо ліву частину балки, на ділянці ІІ — праву).

І ділянка ; ; .

П ділянка ; ; .

Оскільки вирази для Q і М на кожній ділянці лінійні, то для по­будови епюр достатньо визначити шукані величини на межах ділянок.

І ділянка ; ;

П ділянка ; ;

Епюри Q і М, побудовані за здобутими результатами, зображені на мал.2.46.

б) Якщо балка завантажена рівномірно розподіленим навантаженням інтенсивності q(мал.2.47), то, виходячи з умов симетрії задачі, знаходимо .

Розглянемо довільний переріз на відстані z від опори А. Запишемо в цьому перерізі вирази для Q і М, замінюючи розподілене навантаження на ділянці рівнодійною qz, яка прикладена в центрі ділянки

;

.

Обчислимо числові значення Q і М на кінцях балки

; ; .

Оскільки згинаючий момент змінюється за параболічним законом, то найбільший момент діє в середині балки ()

.

За здобутими результатами на мал.2.47 побудовані епюри Q і М.

в) Розглянемо випадок навантаження двохопорної балки парою сил з моментом М_о (мал.2.48). На підставі розв'язку прикладу 2 (глава 1) знаходимо .

Запишемо аналітичні вирази для Q і М на кожній ділянці.

І ділянка ; ;

ІІ ділянка ; ;

Визначимо поперечні сили I згинаючі моменти на межах ділянок і будуємо відповідні епюри.

І ділянка ; ; .

ІІ ділянка ; ; .

2.Консольна балка. Для консольної балки нема необхідності визначати опорні реакції, якщо розглядати рівновагу тієї частини, що не містить защемлення.

а) Консоль, навантажена на кінці зосередженою силою (мал. 2.49)

; ;

Визначаємо значення Q і М на кінцях балки

; ; .

б) Побудуємо епюри поперечних сил і згинаючих моментів для бал­ки, навантаженої на кінці парою сил з моментом М_о (мал.2.50)

;

В даному випадку в поперечних перерізах балки виникає тільки згинаючий момент. Такий згин називається чистим згином.

в) Нехай балка навантажена по всій довжині рівномірно розподі­леним навантаженням інтенсивності q (мал.2.51).

; ;

Визначаємо значення Q і М на кінцях балки і будуємо епюри

; ; ; .

 

 

Приведені вище приклади дають певну залежність між видом епюр поперечних сил та згинаючих моментів і зовнішнім навантаженням. Якщо на балку діє система зовнішніх сил, то, використавши принцип незалежнос­ті дії сил, епюри Q і М будують шляхом алгебраїчного додавання відповідних епюр від кожної зовнішньої сили окремо.

7.3. Нормальні напруження при чистому згині. Розглянемо випадок прямого згину балки, коли в її поперечних перерізах діє лише згинаючий момент, однаковий по всій довжині балки, а поперечна сила дорівнює ну­лю. Така деформація називається чистим згином.

Нехай на фасадну грань призматичної балки нанесена прямокутна сітка (мал.2.52а). Після згину моментами М, прикладеними на кінцях балки, вона набе­ре вигляду, зоб­раженого на мал. 2.52б.

При цьому спостерігається, що первісно вер­тикальні прямі тп, т₁п₂ залишаються прямими, але обертаються одна відносно одної на деякий кут Δφ; причому в опуклій частині балки відста­ні між вертикальними лініями збільшуються, а в протилежній — зменшуються. Ширина пере­різу у верхній частині збільшується. Проведений експеримент дозволяє прийняти такі додаткові припущення, покладені в основу елементарної теорії чистого згину:

1. Вважаємо, що балка складається із поздовжніх волокон, які можуть лише розтягуватися або стискуватися, не чинячи взаємного бокового тиску. (Цим і пояснюється різна ширина перерізу у верхній і нижній час­тині балки).

2. Плоскі до деформації перерізи не викривляються, при деформації вони обертаються один відносно одного.

Оскільки деформація розтягу і стиску по висоті перерізу балки змінюється неперервно, то можна припустити, що всередині балки існує шар волокон, який розділяє зони розтягу і стиску. Цей шар називається нейтральним. Його перетин з поперечним перерізом балки визначає лінію, відносно якої відбувається поворот поперечних перерізів. Ця лінія нази­вається нейтральною лінією поперечного перерізу. Усі волокна нейтрально­го шару не змінюють своєї довжини (не напружені), тому нормальні напру­ження в точках нейтральної лінії відсутні.

Для визначення нормальних напружень, що при чистому зги­ні, розглянемо деформацію частинки балки довжиною dz, виділеної двома поперечними перерізами тп і т₁п₁ (мал. 2.53а).

В деформованому стані ця частинка матиме вигляд, зображений на мал.2.53б. Нехай нейтральному шару на цьому малюку відповідає лінія . Якщо позначити через ρ радіус кривизни нейтраль­ного шару, а кут взаєм­ного повороту перерізів тп і т₁п₁ через dφ, то для волокна a₁b₁, віддаленого від нейтрального шару на відстань у, маємо .

Враховуючи, що , визначимо видовження волокна a₁b₁

або відносне видовження

.

Застосувавши закон Гука при розтягу-стиску (2.3), визначаємо відпо­відне нормальне напруження

(2.51)

Формула (2.51) виражає лінійний закон розподілу нормальних на­пружень по висоті балки. Як показують численні експерименти, по ширині балки (при заданому у) нормальні напруження однакові.

Виразимо нормальні напруження, що виникають в перерізах балки, через згинаючий момент М . Розглянемо довільний переріз балки, для якого одну з координатних осей (х) направимо вздовж нейтральної осі. Вісь Z направимо по осі балки. Виберемо на відстані у від нейтральної осі елементарну площадку dS (мал.2.54). Нормальна сила, що діє на. неї, дорівнює , або з урахуванням (2.51)

(2.52)

Враховуючи, що внутрішні сили при чистому згині приводяться тільки до згинаючого момента, дістанемо

; .

Підставляємо (2.52)

,

.

З першої рівності знаходимо, що S_x=0. використавши властивості статичного момента площі, приходимо до висновку, що нейтральна вісь перерізу (вісь х) проходить через центр його ваги. із другої рівності маємо

(2.53)

Вираз (2.53) являє собою залежність між згинаючим моментом і кривизною балки. Величина EI_x називається жорсткістю балки при згині.

Підставляючи (2.53) в (2.52), знаходимо основну формулу для виз­начення нормальних напружень при чистому згині

(2.54)

На мал.2.55 зображена епюра нормальних напружень по висоті перерізу балки. Максимальні напруження діють в точках, найбільш віддалених від нейтральної осі ().

Враховуючи в (2.54), що , дістанемо

(2.55)

Дотичні напруження в поперечних перерізах балки при її чистому згині дорівнюють нулю.

7.4. Напруження при поперечному згині. Формули (2.54) і (2.55) виведені для чистого згину. При поперечному згині балки в її перерізах, крім згинаючого момента, діє поперечна сила, яка приводить до появи дотичних напружень. На основі закону парності дотичних напружень останні виникають і в поздовжніх перерізах балки. Ці напруження викликають деформацію зсуву, внаслідок чого поперечні перерізи балки при її згині не залишаються плоскими.

Як показує досвід і теоретичні дослідження поперечного згину, викривлення поперечних перерізів практично не впливають на величину нормальних напружень. Тому для їх визначення користуємося тими ж формулами (2.54), (2.55), що й при чистому згині. При цьому величина М змінюється вздовж осі балки і визначається шляхом побудови епюр.

Дотичні напруження в точках перерізу, віддалених від нейтральної осі на відстань у, в припущенні їх рівномірного розподілу по ширині балки, визначаються за формулою Журавського, яка приводиться без доведення

, (2.56)

де Q(z) — поперечна сила в розглядуваному перерізі балки; — cстатичний момент відносно нейтральної осі тієї частини перерізу, яка розміщена вище або нижче розглядуваного рівня волокон (на малюнку 2.56 заштрихована); І_х — осьовий момент інерції перерізу відносно нейтральної осі; b — ширина перерізу на рівні розглядуваних волокон. Розподіл дотичних напружень по висоті балки залежить від формі поперечного перерізу. На мал.2.56 зображена епюра τ для прямокутного перерізу. Найбільші дотичні напруження виникають в точках, розташованих на нейтральній лінії. В точках, найбільша віддалених від нейтральної лінії, дотичні напруження дорівнюють нулю.

Оскільки при поперечному згині нормальні і дотичні напруження однакові по ширині балки, а боковий взаємний тиск во­локон відсутній, то в кожній точні балки має місце плоский напружений стан. Для перевірки твердження виріжемо в околі розглядуваної точки елементарний паралелепіпед, дві грані якого паралельні поперечним перерізам, а дві інші — паралельні нейтральному шару. Фасадна грань abcd такого паралелепіпеда зображена на мал. 2.57.

По гранях ad і bс діють нормальні σ і дотичні τ напруження, що визначаються формулами (2.54), (2.56). За законом парності дотичні напруження τ будуть діяти по гранях ab і cd.

Головні напруження σ₁ і σ₂ при цьому визначаються формулами

; . (2.57)

7.5. Вибір перерізів I перевірка міцності при згині. При розрахун­ку балок на міцність за допустимі напруженнями виходять з умови міц­ності для нормальних напружень

, (2.58)

де М_мах — найбільший згинаючий момент, що діє в одному із перерізів балки (визначається шляхом побудови епюри); — момент опору перерізу балки відносно нейтральної осі.

При проектному розрахунку балки всі зовнішні навантаження, що ді­ють на балку, та їх розміщення відомі. Відомими вважаються також фор­ма поперечного перерізу i матеріал балки.

Прийнявши допустиме напруження , визначаємо з умови (2.58) необхідний момент опору

, (2.59)

по якому визначаються розміри поперечного перерізу так, щоб дійсний момент опору був би близьким до заданого.

Якщо балка виготовлена з прокатного профілю, то відповідний номер профілю вибираємо із таблиць сортаменту в залежності від необхідного моменту опору .

Формула для перевірки міцності балки за дотичними напруженнями, згідно з (2.56), має вигляд

(2.60)

тут — найбільша поперечна сила; — статичний момент верхньої частини поперечного перерізу відносно нейтральної осі; d — ширина перерізу вздовж нейтральної осі; — осьовий момент інерції перерізу.

Міцність за головними напруженнями перевіряють в залежності від прийнятої теорії міцності за однією із формул (2.21) - (2.24) при σ₃=0. Якщо вибрати першу теорію міцності, то розрахункова формула матиме вигляд

(2.61)

 

Приклад 6. Для стальної консольної балки, зображеної на мал.2.58, підібрати двотавровий переріз з умови міцності за нормальними напружен­нями. Перевірити міцність вибраної балки за дотич­ними і головними напруженнями згідно з першою теорією міцності, якщо

, , , , , , , ,

Побудову епюр почи­наємо з вільного кінця балки. При ньому нема потреби визначати реакції в защемленні. Визначимо значення Q і М на межах ділянок, а потім сполучимо ці точки відповідними лініями.

І ділянка

; ;

ІІ ділянка

; ; ;

Ш ділянка

;;

ІV ділянка

;; .

Епюри Q і М, побудовані за одержаними даними, приведені на мал.2.58. При цьому ; . Необхідний момент опору визначаємо за формулою (2.59)

.

Із таблиці сортаменту (ГОСТ 8239-72) вибираємо двотавр номер 27 для якого

; ; ; .

Знаходимо реальні нормальні напруження, що виникають в перерізі з найбільшим згинаючим моментом

.

Розходження з допустимими напруженнями становить

,

що допускається нормативами.

Перевіряємо умову міцності балки за дотичними напруженнями

.

Оскільки , то умова міцності (2.60) виконується.

Обчислимо головне напруження при

 

Воно відрізняється від допустимого на , що допускається нормативами.

7.6. Визначення прогинів і кутів повороту при згині балок. У ви­падку малих деформацій при прямому згині силова площина збігається з головною площиною балки. Прямолінійна вісь балки при згині не видовжується, а лише викривляється по лінії , яка називається пружною лінією. Відхилення будь-якої точки пружної лінії балки від первісної прямої осі називається прогином. Кут, на який повертається переріз по відношенню до свого початкового положення, називається кутом повороту (мал.2.59).

Пружна лінія за своїм фізичним змістом неперервна i плавна (диференційована) в усіх точках кривої.

Для малих деформацій

. (2.62)

Вище було встановлено, що кривизна пружної лінії визначається співвідношенням (2.53)

. (2.63)

З курсу математики відомо, що кривизна плоскої кривої обчислюється за формулою

. (2.64)

Тоді

. (2.65)

Рівняння (2.65) називається диференціальним рівнянням пружної лінії. Оскільки воно нелінійне , то його інтегрування зв’язано із значними математичними труднощами. В більшості інженерних задач доводиться мати справу з малими прогинами балки. У таких випадках тангенси кутів нахилу дотичної до осі Z будуть дуже малі () і з (2.65) дістанемо приблизно диференціальне рівняння зігнутої осі балки

.

Знак в правій частині залежить від вибору системи координат. Якщо вісь у направити вниз, що практикується в багатьох Інженерних задачах, то знаки і будуть завжди протилежні. Тому надалі ми будемо приймати знак мінус

(2.66)

Диференціальні рівняння (2.66), (2.62) дають можливість визна­чати прогини і кути повороту перерізів балки сталого поперечного пе­рерізу аналітичним методом. Суть цього методу полягає в безпосеред­ньому інтегруванні диференціального рівняння зігнутої осі

;

, (2.67)

де і — сталі інтегрування. Для їх визначення використовують граничні умови, що випливають з характеру закріплення опорних перері­зів.

При наявності кількох ділянок навантаження записуються відповід­ні диференціальні рівняння для кожного з них. Інтегрування цих рів­нянь приводить до появи додаткових сталих, для визначення яких необхідно записувати умови неперервності i плавності зігнутої осі на ме­жах ділянок. Отже, для багатьох ділянок навантаження задача стає до­сить складною, і її розв'язок зв'язаний з громіздкими обчислення.

На прикладі покажемо, як інтегруванням рівняння (2.66) можна визначити прогини і кути повороту консольної балки, навантаженої по всій довжині рівномірно розподіленим навантаженням інтенсивності (мал.2.51).

Згинаючий момент в перерізі балки, віддаленому на відстані від закріпленого кінця, дорівнює

.

Підставляючи його значення в рівняння (2.66), дістанемо

.

Інтегруємо один раз по

. (2.68)

Інтегруючи ще раз, знаходимо

(2.60)

Лівий кінець балки () защемлений, тому його прогин і кут повороту дорівнюють нулю. Граничні умови задачі мають вигляд

; .

Вони дозволяють визначити сталі і у виразах (2.68) i (2.69)

.

Таким чином, прогини i кути повороту балки визначаються формулами

;

. (2.70)

Визначимо прогин і кут повороту вільного кінця балки.

Покладаючи в (2.70) , знаходимо

; .

 

§8. Cкладний опір стержнів

Як уже відзначалося вище, при дії на стержень просторової систе­ми сил в кожному його перерізі виникає шість внутрішніх силових фак­торів (), зображених на мал.215.

Простому опору стержня відповідали прості види деформації: якщо відмінна від нуля лише сила — то розтяг або стиск; при наявності та — зсув; при наявності лише — кручення; якщо лише або — то чистий згин.

При певних видах навантаження в стержні виникають складні деформації, що являють собою сукупність усіх чотирьох простих або їх комбінацій.

Напруження i переміщення при складному спорі визначаються на основі принципу незалежності дії сил, як алгебраїчна або геометрична сума напружень чи деформацій від кожного силового фактора окремо. У більшості випадків впливом поперечних сил та нехтують.

8.1. Косий згин. Якщо силова площина не збігається з жодною із головних площин інерції балки, то такий випадок називається косим. Нехай в довільному перерізі балки діє згинаючий момент М.
Розкладемо його на дві складові і , що діють в головних площинах. Це дає змогу представити косий згин балки як сукупність двох прямих згинів в головних площинах.

Нормальні напруження в довільній точці знаходимо як суму напружень від моментів і за формулою (2.54)

. (2.71)

Знак кожного з доданків залежить від того, яке напруження — розтягуюче чи стискуюче — викликає кожний з моментів в розглядуваній точці.

Якщо переріз має симетричну форму (прямокутник, двотавр), то найбільші напруження виникають в кутових точках. На мал.2.60 такими є точки В і С, в яких від кожного момента виникають, напруження одного знаку. Умову міц­ності в таких точках, згідно з (2.58), можна записати у вигляді

(2.72)

Для знаходження найбільш напружених точок перері­зу довільної форми не­обхідно спочатку визначи­ти положення нейтральної лінії. Її рівняння діста­немо з (2.71), поклавши

. (2.73)

Оскільки ліва частина (2.73) являє собою вираз першого степеня віднос­но х, у, то нейтральна лінія є пряма, що проходить через центр ваги перерізу (початок координат). Її положення визначається кутовим коефіцієнтом , де — кут нахилу нейтральної лінії до осі x (2.61)

З рівняння (2.72) маємо

. (2.74)

З Іншого боку

. (2.75)

Підставляючи (2.75) в (2.74), знаходимо

. (2.76)

З цієї рівності випливає, що положення нейтральної лінії залежить від геометрії поперечного перерізу () і від положення силової лі­нії (). Знак «-» показує, що кутові коефіцієнти сило­вої та нейтральної ліній — різних знаків. Це означає, що нейтральна лі­нія проходить через квадранти перерізу, в яких моменти і ви­кликають напруження різних знаків.

При кут не дорівнює куту , тобто силова лінія не перпендикулярна до нейтральної лінії, як це було при прямому згині. В окремих перерізах (квадрат, круг), , тому ней­тральна лінія перпендикулярна до силової площини і косий згин неможливий.

Якщо положення нейтральної лінії буде відоме, то найбільш напруженими будуть точки максимально віддалені від неї. Знаючи їх координати, відповідні напруження можна визначити за формулою (2.71). Тоді умови міцності в точках і приймуть вигляд

;

. (2.77)

Практичний розрахунок балки у випадку косого згину може бути
реалізований за такою схемою: 1) Задане навантаження розкладається на складові, що діють в головних площинах балки. 2) Будуються епюри згинаючих моментів і в кожній з головних площин і визначаються
значення і в небезпечному перерізі. 3) Визначається положення небезпечних точок в перерізі і записуються умови міцності типу (2.72) або (2.77). ЦІ умови використовуються як для перевірки на міцність, так і для вибору перерізу.

Задача про визначення прогинів балки при косому згині зводиться що визначення прогинів при прямому згині в двох головних площинах.

Якщо відомі переміщення осі балки в напрямках головних осей , , то повне переміщення визначається як геометрична сума складових

. (2.78)

Повне переміщення в будь-якому перерізі відбувається в напрямку, перпендикулярному до нейтральної лінії. Це означає, що при косому зги­ні площина прогинів не збігається з силовою площиною.

8.2. Згин з розтягом (стиском). Нехай від дії зовнішнього наван­таження в поперечному перерізі стержня виникають три силові фактори , , (мал.2.62).

Згідно з принципом незалежності дії сил, напруження в довільній точці з координатами х і у визначаються за формулою

, (2.79)

де S — площа поперечного перерізу стержня.

Знак кожного з доданків залежить від того, якого знаку напруження в даній точці викликає кожен силовий фактор.

Визначаємо рівняння нейтральної лінії перерізу, поклавши в (2.79)

. (2.80)

Рівняння (2.80) має перший порядок відносно змінних х і у і визначає пряму, яка не проходить через початок координат (центр ваги перерізу). Її положення визначається двома відрізка і , що відсікаються нею на осях.

Поклавши в (2.80) ; , знаходимо

(2.81)

Аналогічно визначаємо поклавши в (2.80) , .

(2.82)

формули (2.81), (2.82) показують, що положення нейтральної лінії залежить від геометрії поперечного перерізу (, ) і зовнішнього навантаження (, , ). В залежності від цих величин нейтральна лінія може, знаходитись в межах перерізу (тоді вона поділяє його на розтягнуту і стиснуту частини) і може бути за межами перерізу. В останньому випадку напруження у всіх точках перерізу мають один знак.

Після побудови нейтральної лінії знаходять найбільш віддалені від неї точки (на мал.2.62 точки , ), в яких виникають максимальні напруження. Умови міцності для цих точок мають вигляд

;

. (2.83)

Якщо наперед відомо, що найбільшим є розтягуюче напруження, то достатньо порівняти з допустимим лише це напруження. Якщо всі напру­ження мають один знак (нейтральна лінія розміщена за межами перерізу), то з двох крайніх точок перевіряють на міцність лише одну — найбільш віддалену від нейтральної лінії.

Практичний розрахунок балок при згині з розтягом (стиском) про­водиться за такою самою схемою, як і у випадку косого згину.

Повне переміщення точок осі балки визначається як геометрична сума прогинів , в напрямках головних осей перерізу і переміщення перерізу в напрямку осі балки

. (2.84)

8.3. Згин зі крученням круглого стержня. Згин з крученням являє собою окремий випадок складного опору, коли стержень перебуває під дією згинаючого моментаі крутячого момента. Найбільші до­тичні напруження від крутячого моменту діють в кожній точці на контурі перерізу, а найбільші нормальні напруження від згинаючого момента — лише в двох діаметрально протилежних точках і (мал.2.63). Ці точки будуть найбільш напруженими, а отже, і найбільш небезпечни­ми. Максимальні напруження в них визначаються за формулами

; (2.85)

де — осьовий момент опору круглого перерізу.

На відміну від розглянутих випадків складного опору, при згині з крученням напружений стан в небезпечних точках не можна розглядати як лінійний.

Виділимо в околі точки елемент матеріалу (мал.2.63). Він перебуває в умовах плоского напруженого стану тому перевірку на міцність необхідно виконувати, користуючись відповідними теоріями міцності. При цьому головні напруження визначаються за формулами (2.57).

Оскільки дотичними напруженнями не можна знехтувати, то перша теорія міцності немає змісту.

Згідно з другою теорією, умова міцності (2.22) при , приймає вигляд

(2.86)

В третій теорії міцності умова (2.23) запишеться так:

. (2.87)

За четвертою теорією міцності розрахункова формула (2.24) запишеться у вигляді

. (2.88)

Замінюючи в (2.86) — (2.88) величини і їх значеннями із (2.85) і враховуючи, що для круглого перерізу , дістанемо умову міцності при згині з крученням

(2.89)

де — розрахунковий момент, який визначається у відповідності з вибраною теорією міцності:

за другою теорією ;

за третьою теорією (2.90)

за четвертою теорією .

Нерівність (2.89).має такий самий вигляд, як і при згині балок.

Оскільки при крученні стержня його вісь залишається прямоліній­ною, то його повний прогин може бути визначений за формулою (2.78).

 

§9. Стійкість стиснутих стержнів

Розглянемо тонкий довгий стержень (розміри поперечного перерізу малі в порівнянні з довжиною), який стикується вздовж осі силою Р (мал.2.64). Якщо сила Р невелика, то стержень буде зберігати пря­молінійну форму і перебувати в умовах центрального стиску або стійкої рівноваги. При збільшенні стискуючої сили прямолінійна форма рівнова­ги може виявитися нестійкою і стержень буде випучуватися (згинатися). Це явище має назву поздовжнього згину або біфуркації.

Значення стискуючої сили, при якій відбувається перехід від стійкої прямолінійної форми рівноваги до криволінійної, називається критичною силою.

Якщо стискуюча сила менша критичної, то стержень працює на стиск; при силі, більшій за критичну, стержень перебуває в умовах стиску і згину. Навіть при великому перевищенні стискуючої сили критичного значення прогини стержня зростають надзвичайно швидко і стержень або руйнується, або повністю втрачає свою жорсткість. Тому з точки зору практичних розрахунків критична сила повинна розглядатися як руйнівне навантаження.

Допустима стискуюча сила повинна бути в кілька разів менша, ніж критична. Цю умову стійкості прямолінійної форми рівноваги можна записати так

, (2.91)

де — допустиме значення стискуючої сили; — критична сила; — коефіцієнт запасу стійкості.

Якщо поділити критичну силу на площу поперечного перерізу стержня то дістанемо критичне напруження

. (2.92)

Критичне напруження при поздовжньому згині відіграє таке ж значен­ня, як або при звичайному розтягу або стиску. З урахуванням коефіцієнта запасу міцності воно не повинне перевищувати границю пропорціональності.

9.1. Формула Ейлера. Розглянемо стержень, шарнірно закріплений на кінцях і стиснутий силою Р (мал.2.65а). Такий випадок закріплення будемо називати основним. Якщо стискуюча сила досягне значення , то стержень прийме криволінійну форму (мал.2.65б). При цьому можна вважати, що зміщення верхнього кінця стержня і його прогини малі в порівнянні з довжиною . В цьому випадку диференціальне рівняння зігнутої осі стержня, згідно з (2.66), матиме вид

. (2.93)

Якщо переміщення стержня не обмежені, то він буде згинатися в площині найменшої жорсткості, яка у випадку сталого значення буде дорівнювати .

Враховуючи, що , із (2.93) знаходимо однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами .

, (2.94)

де

. (2.95)

Його загальний розв'язок має вигляд

. (2.96)

Сталі інтегрування і визначимо із граничних умов закріплення стержня, які в даному випадку записуються у вигляді

І) ; ;

ІІ) ; .

З першої умови маємо ; тоді .

Друга гранична умова приводить до рівності .

Оскільки , бо в протилежному випадку стержень матиме прямолі­нійну форму рівноваги (), то . Звідси знаходимо

або ,

де п — ціле невід’ємне число.

Враховуючи позначення (2.95), знаходимо шукану критичну силу

. (2.97)

Випадок не відповідає фізичним умовам задачі. Тоді мінімальна критична сила буде при

(2.98)

 

Формула (2.98) вперше була здобута Л. Ейлером наприкінці XVII століття.

Рівняння зігнутої осі, що визначається критичною силою (2.98), має вигляд

 

і відповідає одній півхвилі синусоїди. Постійна , яка дорівнює прогину посередині стержня, залишається невідомою. Для її визначення нема додаткових умов.

Якщо виходити з точного диференціального рівняння зігнутої (2.65), то сталу можна визначити. При цьому критична сила буде такою ж, яка знайдена Ейдером із спрощеного рівняння. На цей цікавий факт звернув увагу відомий російський вчений Ф.С. Ясинський.

При інших способах закріплення кінців стержня формулу для визна­чення критичної сили можна знайти шляхом співставлення форми зігнутої осі даного стержня з формою, яка є у стержня з шарнірно закріпленими кінцями, Якщо на зігнутому стержні вибрати ділянку, що має форму однієї півхвилі синусоїди, то ця ділянка працюватиме в таких же умовах, як і стержень основної форми відповідної довжини. Позначивши довжину цієї ділянки через за формулою (2.98) визначаємо величину критичної сили.

. (2.99)

На (мал.2.66) зображено найбільш характерні випадки закріплення кінців стержня, відмінні від основної форми.

Таким чином, при довільному способі закріплення кінців стержня формулу для визначення критичної сили можна подати у вигляді (2.99). Виразивши зведену довжину , запишемо формулу Ейлера в загальному випадку

, (2.100)

де — коефіцієнт зведення довжини стержня. Його значення для конкретних випадків закріплення стержня приведено на мал.2.66.

Для основної форми стержня .

Формула (2.100) показує, що величина критичної сили залежить від матеріалу стержня (), його довжини (), геометрії поперечногоперерізу () і способу закріплення кінців стержня ().

Критичні напруження визначаються, виходячи з (2.92) I формули Ейлера

,

де мінімальний радіус інерції перерізу.

Формула для критичного напруження може бути подана у вигляді

.

Величина називається гнучкістю стержня. Чим більша гнучкість стержня, тим менше критичне напруження, тим менша стискую­ча сила необхідна, щоб викликати його поздовжній згин.

Оскільки величина не повинна перевищувати , то

 

Гранична гнучкість, нижче якої формулу Ейлера застосувати не можна

. (2.101)

Для стержнів з маловуглецевої сталі , для дерев'яних — , для чавунних стержнів .

Таким чином, ми встановили, що межею використання формули Ейлера є межа закону Гука ().

На практиці доводиться мати справу Із стиснутими стержнями, гнуч­кість яких нижча граничної. В таких випадках для визначення критичного напруження використовують формулу, запропоновану Ф.С. Ясинським.

, (2.102)

де і — величини, що характеризують властивості матеріалу стержня. Значення цих коефіцієнтів приводяться в технічних довідниках.

Приклад 7. Визначити допустиму величину стискуючої сили для чавун­ної колони довжиною з одним защемленим кінцем, а другим — вільним. Переріз колони — круг діаметром ; ;

Розв'язування. Визначаємо осьовий момент інерції поперечного пе­рерізу і його площу

; .

Радіус інерції перерізу дорівнює .

Знаходимо зведену довжину колони при

.

Гнучкість колони

.

Розрахунок даної колони можна вести за формулою Ейлера

.

 

§10. Міцність матеріалів при повторно-змінних навантаженнях

Елементи конструкцій і машин часто працюють при напруженнях, що змінюються не тільки за величиною, але й за знаком. В подібних умовах перебувають, наприклад, осі вагонів, рейки, ресори, поршневі штоки, вали і інші деталі машин. Як показує практика, такі деталі можуть руйнуватися при напруженнях, менших не лише за границю міцності, а й навіть за границю пружності.

Зниження міцності матеріалу при дії на нього повторно-змінних навантажень називається втомленістю матеріалу, а властивість витриму­вати, не руйнуючись, багатократну дію змінних напружень — витриваліс­тю матеріалу.

10.1. Фізичні основи руйнування матеріалу від втомленості. Дослідження процесу руйнування при змінних напруженнях показали, що при цьому в матеріалі виникає мікротріщинка, яка поступово проникає в глибину деталі. Поява тріщини зумовлена кристалічною будовою матеріалу і повторно-змінними навантаженнями.

Зерна-кристаліти, з яких складається метал, мають анізотропію фізичних і механічних властивостей. Оскільки вони орієнтовані по різ­ному, то при дії навантаження в окремих найменш сприятливо орієнтова­них зернах можуть виникнути перенапруження (пластичні деформації), а отже і явище наклепу. Внаслідок цього, частинки (зерна), що зазнали наклепу, стануть більш жорсткими і при наступних навантаженнях сприйматимуть на себе більшу його частину. Сусідні зерна при цьому дещо розвантажуються, а наклепані знову перевантажуються. Це відбувається до того часу, поки напруження в них не досягне границі міцності і в зерні появиться надрив, його цілісність порушиться і виникне мікротріщина.

Тріщини, що виникають з окремих зернах, загрози не становлять, бо їх розміри одного порядку із зернами. Якщо поряд виявиться кілька зерен з мікротріщинами, то виникає велика тріщина (макротріщина). Змінні навантаження сприяють швидкому її розвитку, бо під час дефор­мації стержня її краї то зближуються, то віддаляються. У міру розвит­ку тріщини втомленості поперечний переріз стержня ослаблюється все більше і в деякий момент ослаблення досягає такого значення, що ви­падковий удар або поштовх викликає миттєве крихке руйнування.

Тріщини втомленості в деталі, як правило, мають місцевий харак­тер і не впливають на властивості матеріалу в цілому. Наклеп у мікрооб'ємах і супроводжуючі його безпечні мікротріщини з окремих розріз­нених зернах виникають лише до появи мікротріщини, після чого їх дальший розвиток припиняється. Це пояснюється тим, що значно частина енергії зовнішнього навантаження витрачається на розширення тріщини, яка утворилась.

Отже, втомленість матеріалу — це процес поступового виникнення і розвитку тріщин під дією повторно-змінних силових навантажень.

10.2. Цикли напружень. Визначення границі витривалості. Зміна напружень від одного крайнього значення до іншого і навпаки називається циклом напружень. Кожен цикл - це замкнута однократна зміна напружень, які дістають ряд неперервних значень. В залежності від співвідношення крайніх значень напружень розрізняють симетричні і асиметричні цикли (мал.2.67). У випадку симетричного циклу крайні значення
напружень , однакові за величиною і протилежні за знаком (мал.2.67а). .

Асиметричний цикл (мал. 2.67б) можна розглядати як симетричний цикл, на який накладено постійне напруження. Якщо або дорівнюють нулю, то цикл називається пульсуючим.

Основними характеристиками циклу напружень являються і , середнє напруження циклу , (а)

а також амплітуда напру­жень циклу

. (б)

Середнє напруження циклу може бути додатнім, від'ємним або дорівнювати нулю, а амплітуда циклу — завжди додання величина.

Для характеристики ступеня асиметрії, циклу вводиться коефіцієнт асиметрії циклу

.

При симетричному циклі , при пульсуючому .

Не всякі змінні за величиною напруження викликають втомне руйнування. Найбільше змінне напруження, при якому матеріал не руйнується при довільному числі циклів навантаження, називається границею витривалості . Це напруження суттєво залежите як від виду деформації,так і від характеру циклу напружень. Границя витривалості для кожного матеріалу визначається дослідним способом на спеціальних випробувальних машинах. Для цього вибирають 6-12 чисто оброблених (відполірованих) з плавними, обрисами зразків. Першому зразку надають напруження , які дорівнюють . Пропрацювавши невелике число циклів , зразок руйнується.

Другому зразку надають напруження менші при тому ж . Природно, що число циклів до руйнування буде більше, ніж . Напруження для кожного наступного зразка зменшують доти, доки черговому зразку буде задане таке напруження, при якому він працюватиме нескінченно довго. Де напруження і є границею витривалості .

Дані випробувань для кожного зразка у координатах (, ) зображуємо дочками і з'єднуємо плавною лінією, яка називається кривою витривалості (мал. 2.68). Якщо цю криву продовжити вліво, то на осі на­пружень вона відсіче від­різок, рівний границі міц­ності. Знаючи, які напру­ження виникають в деталі, за кривою витривалості можна визначити строк служ­би деталі, тобто число циклів, яке може витримати деталь, не руйнуючись.

Це число циклів називається довговічністю.

10.3. Фактори, що виливають на втомну міцність.

1. Вид деформації. Експериментами встановлено, що границя витривалості при осьовому розтягу (стиску) менша, ніж границя витривалості при згині. Це пояснюється тим, що при розтягу (стиску) весь переріз перебуває під однаковими напруженнями, а при згині найбільші напруження виникають в крайніх точках перерізу, решта матеріалу працює при значно менших напруженнях. Де затрудняє утворення тріщин втомленості. Ще, нижча границя витривалості при крученні.

2. Асиметрія циклу. Якщо цикл напружень асиметричний, то границя витривалості тим більша, чим ближче до одиниці коефіцієнт асиметрії циклу. При , тобто при статичному навантаженні, границя витривалості співпадає з границею міцності. Найменше значення відпові­дає симетричному циклу.

Таким чином, найбільш небезпечним є симетричний цикл, найменш не­безпечним — статичне навантаження.

3. Концентрація напружень. Із досвіду відомо, що в тих перерізах деталей, де є різкі зміни розмірів, надрізи, гострі кути, отвори, виникають високі місцеві напруження (концентрація напружень). В цих перерізах, як правило, розвиваються тріщини втомленості, які в кінцевому результаті приводять до руйнування деталі.

Місцеві напруження дуже зменшують границю витривалості. Тому ви­робам, які працюють при знакозмінних навантаженнях, необхідно по мож­ливості надавати форму, що не має різких змін перерізу, ослаблень і виточок.

4. Розміри деталі (масштабний фактор). Границя витривалості залежить також від розмірів деталі. Як показали досліди, границя витривалості даного матеріалу для зразків великих розмірів завжди менша, ніж для малих. Вплив на втомну міцність абсолютних розмірів перерізу деталі враховується так званим масштабним фактором, який залежить від матеріалу, якості обробки поверхні, наявності концентратора напружень.

5. Якість поверхні деталі. Істотний вплив на границю витривалості має стан поверхні деталі чи зразка. Поверхневі дефекти (сліди різального інструменту, подряпини), будучи концентраторами напружень, значно знижують границю витривалості. Деталі з високоміцних сталей вимагають особливо якісної обробки. Кольорові метали і чавун мало чутливі до якості обробки поверхонь.

Якщо матеріал працює в агресивному середовищі, яке викликає ко­розію, а отже, пошкодження поверхні, то втомна міцність його знижуєть­ся. При цьому, чим більше матеріал схильний до корозії, тим різкіше знижується границя витривалості.

6. Температура. Встановлено, що зміна температури в діапазоні |від -40°С до 300°С помітно не впливає на границю витривалості. При дальшому підвищенні температури зменшується.

7. Частота зміни напруження.Якщо частота зміни напружень не перевищує 1000 Гц, то границя витривалості для зразків з гладкими обрисами дещо підвищується, а для зразків із концентраторами напружень — знижується.

Крім того, на границю витривалості впливають і інші фактори, про­те ступінь їх впливу вивчений ще недостатньо.

 

§11. Контактні напруження

Напруження і деформації, що виникають при взаємному стиску двох деформованих тіл, називаються контактними. Початковий точковий дотик тіл, обмежених криволінійними поверхнями, внаслідок деформації переходить в контакт по малій площадці, яка в загальному випадку має еліптичну форму. Матеріал в околі такої площадки, не маючи можливості вільне деформуватися, перебуває в умовах просторового напруженого стану (мал. 2.69). Контактні напруження, як показали дослідження в теорії пружності, мають місцевий характер і швидко зменшуються при віддаленні від площадки контакту. Незважаючи на це, дослідження контактних напружень необхідне для забезпечення міцності багатьох відповідальних деталей (підшипники, зубчасті колеса, елементи кулачкових механізмів, рейки, сферичні і циліндричні катки).

Вперше задача про стиск двох пружних деформованих тіл з гладкими криволінійними поверхнями, в припущенні малості площадки контакту, розв’язана в роботах німецького фізика Г.Герца. Контактна задача виз­начає: форму і розміри площадки контакту тіл після деформації; величи­ну і характер розподілу тиску між контактуючими поверхнями; величину зближення тіл, зумовлену їх деформацією.

Нижче приведені результати розв'язків деяких контактних задач, одержаних методами теорії пружності, при таких допущеннях:

1) площадка контакту мала в порівнянні з розмірами тіл;

2) зовнішні навантаження, прикладені до тіл, викликають в зоні контакту тільки пружні деформації, що підлягають закону Гука;

3) сили тиску, розподілені по площадці контакту, перпендикулярні до неї;

4) силами тертя в зоні контакту можна знехтувати.

 

11.1. Стиск двох сферичних тіл. Якщо два сферичні тіла радіусами і стискуються силами Р, то в зоні контакту утворюється кругова площадка радіусом (мал.2.70)

. (2.103)

Найбільші нормальні напруження виникають в центрі площадки контакту

. (2.104)

Два Інші головні напруження в центрі площадки дорівнюють

(2.105)

Формули (2.104), (2.105) показують, що в центрі площадки контакту матеріал перебуває в умовах, близьких до рівномірного стиску. Внаслідок цього в зоні контакту матеріал може витримувати без появи пластичних деформацій великий тиск. Найбільш небезпечна точка розміщена на перпендикулярі в центрі площадки контакту на глибині . Головнінапруження в цій точці дорівнюють

; , (2.106)

де — напруження в центрі площадки контакту.

Найбільше дотичне напруження в небезпечнім точці

(2.107)

Величина зближення тіл визначається формулою

. (2.108)

Замінюючи в формулах (2.103) — (2.108) на , одержимо відповідні значення шуканих величин у випадку тиску сфери на сферичну улоговину (сферичний шарнір) (мал.2.71), а при — розрахункові формули у випадку тиску сфери на площину (мал.2.72).

 

11.2. Стиск двох циліндричних тіл. При стиску двох кругових циліндрів радіусів і з паралельними твірними, рівномірно розподіленим навантаженням інтенсивності , (мал.2.73), площадка контакту має вигляд вузького прямокутника з шириною

. (2.109)

 

При цьому найбільші напруження виникають в точках поздовжньої осі площадки контакту

(2.110)

Небезпечна точка розміщена на перпендикулярі в центрі площадки контакту на глибині . Головні напруження в цій точці дорівнюють

; ; (2.111)

Найбільші дотичні напруження в небезпечній точці.

. (2.112)

Величина зближення циліндричних тіл визначається за формулою

, (2.113)

де — довжина площадки контакту.

Замінюючи в (2.109) — (2.113) на , дістанемо розрахункові формули у випадку тиску циліндра на внутрішню сторону циліндричного жолоба (роликовий підшипник) (мал.2.74). Якщо , то маємо розв’язок задачі про взаємний стиск циліндра і площини (циліндричний ка­ток) (мал. 2.75).

 

Приведені вище розрахункові формули здобуті при . Для практичних розрахунків вони придатні і при інших значеннях коефіцієнта Пуассона.

11.3. Міцність при контактній взаємодії тіл.Перевірку міцності при контактних напруженнях необхідно проводити по третій або четвертій теоріях міцності. На підставі співвідношень (2.23) I (2.24) умови міцності мають вигляд

;

(2.114)

Підставляючи замість , , їх значення в небезпечній точці, виражені через в центрі площадки контакту, умову міцності подамо у вигляді

(2.115)

або

(2.116)

Тут — допустиме значення для найбільшого напруження в зоні контакту.

Значення коефіцієнта залежать від форми площадки контак­ту, вибраної теорії міцності і приводяться в довідниках.

 

Л І Т Е Р А Т У Р А

 

1. В.М. Старжинський Теоретическая механика, М., Наука, 1980, 464с.

2. С.М. Тарг. Краткий курс теоретической механики, М., Наука, 1967, 478с.

3. А.В.Дарков., Г.С.Шапиро. Сопротивление материалов. М., Высшая школа, 1989 , 624с.

4. Г.С.Писаренко и др. Сопротивление материалов, Киев, Вища школа, 1986, 775с.

5. Опір матеріалів (за редакцією Г.О. Писаренка). Київ, Вид-во Київ. ун-ту, 1967, 324с.

6. Степин П.А. Сопротивление материалов. М., Высшая школа, 1983, 303с.

7. С.П.Фесик Справочник по сопротивлению материалов, Киев, Будівельник, 1982, 280с.

 

З М І С Т

 

 

Передмова………………………………………...……………………………… 4

Частина перша СТАТИКА…………………………………..………………….. 5

Глава І. Статика твердого тіла……………………………………….…………..5

§1. Основні поняття і задачі статики………………………...…………...5

§2. Аксіоми статики………………………………………………......……7

§3. В'язі та їх реакції………………………………………………………10

§4. Система збіжних сил………………………………………………….13

§5. Система двох паралельних сил. Теорія пар на площині...............…18

§6. Плоска система сил…………………………………………………...26

§7. Просторова система сил………………………………………..…….32

§8. Центр системи паралельних сил і центр ваги твердого

тіла. Геометричні характеристики плоских фігур…………………...….43

Глава 2. Статика деформованого твердого тіла……………………………….52

§1. Основні поняття опору матеріалів…………………………………...52

§2. Деформація розтягу і стиску………………………………..………. 64

§3. Напружено-деформований стан в точці пружного тіла.................... 76

§4. Теорії міцності в опорі матеріалів...................................................... 81

§5. Деформація зсуву………………......................................................... 84

§6. Кручення круглих стержнів …………………………………….….. 89

§7. Деформація згину................................................................................. 99

§8. Складний опір стержнів……………………………………………..119

§9. Стійкість стиснутих стержнів...........................................................125

§10. Міцність матеріалів при повторно-змінних навантаженнях…….131

§11. Контактні напруження………………………………………….….136

ЛІТЕРАТУРА……………………………………………………………..…….141