 |
|
Определение комплексного числа
Комплексное число z – упорядоченная пара вещественных чисел (x,y):
.
- вещественная часть z.
- мнимая часть z.
Равенство комплексных чисел:
.
Комплексное число можно изобразить точкой координатной плоскости Oxy либо радиус-вектором этой точки. Координатная плоскость называется при такой интерпретации плоскостью комплексных чисел, ось Ox – вещественной осью, ось Oy – мнимой осью.
Арифметические операции над комплексными числами 
, 
:
(а) сложение:
;
(b) умножение:
.
Свойства арифметических операций:
1. 
(коммутативность сложения)
2. 
(ассоциативность сложения)
3. 
(коммутативность умножения)
4. 
(ассоциативность умножения)
5. 
(дистрибутивность).
Обратные операции:
(с) вычитание:
,
(d) деление:
.
Алгебраическая форма комплексного числа
Число 
называется мнимой единицей.
Квадрат мнимой единицы представляет собой вещественное число, равное -1:
.
Тогда для любого числа имеем
.
Это алгебраическая форма комплексного числа.
Пусть 
и 
, тогда
,
,
,
.
1.4. Сопряжение.Пусть 
.
Сопряженное к z число: 
.
Свойства операции сопряжения:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
;
5. 
.
1.5. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.Точка на плоскости может быть задана не только декартовыми, но и полярными координатами 
:
.
Число r называется модулем числа z, 
- аргументом:
.
Рис.2.
Аргумент определен неоднозначно (с точностью до 
), поэтому различают
(1) главное значение аргумента 
или 
;
(2) (многозначный) аргумент 
; используются также записи
, 
.
Комплексное число можно записать в виде
Это – тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
Перемножим два числа:
Таким образом,
.
1.6. Формула Эйлера. Рассмотрим функцию
.
Она обладает свойством
.
Эта функция обозначается 
:
;
Это – формула Эйлера.
Средствами анализа можно доказать, что функция действительно является показательной функцией.
Показательная форма записи комплексных чисел:
,
где
.
Из формулы Эйлера получаем:
;
Складывая/вычитая эти равенства находим
.
1.7. Возведение в степень. Тригонометрическая и показательная формы записи полезны при возведении комплексных чисел в степень:
.