Исследование положений равновесия с помощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Теорема Коши-Пикара.

Рассматривается задача Коши

Предполагается, что функция непрерывна по первому аргументу и удовлетворяет условию Липшица по второму:

Утверждается, что тогда задача (НС), (НУ) имеет на некотором отрезке единственное решение.

Пример. Рассмотрим задачу Коши

, - открытое множество.

Непрерывность в эквивалентна покоординатной непрерывности. При фиксированных функция непрерывна как линейная функция, а функция непрерывна, так как функция непрерывна при . Таким образом, функция непрерывна по первому аргументу.

Проверим выполнение условия Липшица. Пусть .

Условие Липшица выполнено с .

Так как все условия теоремы Коши-Пикара выполнены, задача Коши имеет единственное решение на некотором отрезке .

Исследование положений равновесия с помощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Рассматривается автономная система

где — непрерывная функция. Положением равновесия

или особой точкой этой системы называется решение-константа:

Нетрудно видеть, что x* является положением равновесия тогда и только тогда, когда

g(x*) = 0.

Итак, пусть x* — положение равновесия системы и отображение g имеет в точке x* производную .

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Если все собственные значения матрицы имеют отрицательные вещественные части, то положение равновесия системы экспоненциально устойчиво.

Теорема Ляпунова о неустойчивости по первому приближению. Если среди собственных значений матрицы есть хотя бы одно с положительной вещественной частью, то положение равновесия системы неустойчиво.

Решение уравнения, определенное на , называется экспоненциально устойчивым, если