 |
|
Теоретические обоснования
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Руководство для студентов
Северск 2007
Рег. № С07/32 от 17.05.07г.
Утверждено НМС
«___»______________ 2007г.
УДК 531.01
Великосельская Н.Д. Теорема об изменении кинетической энергии: Методические указания для студентов. 3-е изд., перераб.-Северск: СГТА, 2007. - 24с.
В данных методических указаниях изложены основы теории и дан пример расчета. При решении задач используются понятия «приведенная масса» и «приведенная сила», облегчающие решение многих задач не только теоретической механики, но и теории механизмов.
Данное руководство указание по объему и содержанию соответствует образовательному стандарту и рассчитано на студентов всех специальностей СГТА.
Одобрено на заседании кафедры ТМиГ
(протокол № 34 от «_26»_апреля 2007г.)
Печатается в соответствие с планом выпуска учебно-методической литературы на 2007 г., утвержденным Советом СГТА.
Рецензент Н.Ю. Истомина
Редактор Г.Н. Ларкина
Подписано к печати
Формат бумаги 60х84/16 Заказ
Тираж 50 экз. Объем 1,3 п.л.
Издательская лаборатория СГТА,
636035, Томской обл., г. Северск, пр. Коммунистический, 65
Отпечатано в СГТА
Ó Северская государственная технологическая академия, 2007
| Содержание | ||
| Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | ||
| Теоретические обоснования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | ||
| 1.1 | Теорема об изменении кинетической энергии системы . . . . . . . . . | |
| 1.2 | Определение кинетической энергии системы и работы сил . . . . . . | |
| 1.2.1 | Поступательное движение твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 1.2.2 | Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси . . . . . . . . . . . . . | |
| 1.2.3 | Плоское движение твердого тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 1.3 | Анализ движения механической системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 1.4 | Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| Пример выполнения задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | ||
| 2.1 | Задача расчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 2.2 | Данные для расчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 2.3 | Условия расчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 2.4 | Расчеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 2.4.1 | Определение кинетической энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 2.4.2 | Определение работы сил . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 2.4.3 | Определение скорости груза 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 2.4.4 | Определение ускорения груза 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| 2.5 | Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | |
| Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
Введение
Теорема об изменении кинетической энергии представляет собой частный случай общего закона сохранения энергии. Работа, входящая в математическое выражение этой теоремы, является проявлением той части кинетической энергии, которая преобразуется в другие формы энергии. В этом состоит основное значение понятия о работе и теоремы об изменении кинетической энергии или уравнений «живых сил». Уравнение «живых сил» было известно И. Бернулли, но его глубокое физическое содержание было разъяснено лишь в середине XIX века вместе с установлением общего закона сохранения энергии. Тогда же Гельмгольц обозначил кинетическую энергию точки - 
.
Понятие о работе было введено ещё в начале XIX века (Кориолисом, Понселе и др.), но только в 1853 году Ренкин связал это понятие с преобразованиями энергии, выразив свою мысль так: всякий вид энергии можно получить путем преобразования работы.
Закон сохранения механической энергии является частным случаем всеобщего закона сохранения и превращения энергии всех форм движения материи, согласно которому все формы движения «при известных обстоятельствах переходят друг в друга», «и при том так, что данному количеству энергии в одной форме всегда соответствует определенное количество энергии в какой-либо другой форме».
Законы сохранения получены как следствие уравнений движения Ньютона. Законы сохранения могут иметь место для систем с любым числом точек, в связи с чем они являются важнейшим орудием исследований.
Основные теоремы динамики являются непосредственными следствиями из основных законов и аксиом механики – это выводы, в первую очередь, из второго закона Ньютона.
Теорема об изменении кинетической энергии позволяет проникнуть во внутреннюю природу механического явления. Изменение кинетической энергии зависит как от внешних сил, так и от внутренних сил.
Теорема об изменении кинетической энергии применяется при решении второй задачи динамики, когда по заданным силам необходимо определить закон движения системы в динамике механизмов.
Введение важных понятий – приведенной массы (момента инерции) и приведенной силы (момента сил)- облегчает решение многих задач теоретической механики и имеет применение в её приложениях – в теории колебаний, в динамике машин, в теории регулирования и т.п.
Теоретические обоснования
1.1 Теорема об изменении кинетической энергии системы
Изменение кинетической энергии системы при её перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих перемещениях точек системы, к которым приложены силы [1]:
(1)
где 
- кинетическая энергия в произвольном положении системы (текущее значение кинетической энергии системы);
- кинетическая энергия начального положения системы;
- сумма работ внешних сил, приложенных к точкам системы;
- сумма работ внутренних сил, приложенных к точкам системы.
Для абсолютно твердого тела и неизменяемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, а также и для изменяемой, но с идеальными (без трения) связями, сумма работ всех внутренних сил системы равна нулю:
Поэтому применительно к подобным системам, теорему об изменении кинетической энергии (1) в конечной форме можно представить в виде [1]:
. (2)
1.2 Определение кинетической энергии системы и работы сил
1.2.1 Поступательное движение твердого тела
Рассмотрим определение кинетической энергии и работы сил при поступательном движении на примере тела, движущегося по наклонной плоскости вверх (рисунок 1).
К и н е т и ч е с к а я э н е р г и я тела, совершающего поступательное движение, определяется по формуле [1]:
, (3)
где 
- масса тела, кг;
- скорость центра масс тела, м×с-1.
 |
Рисунок 1 - К определению кинетической энергии и работы сил
при поступательном движении твердого тела
Определим р а б о т у с и л , действующих на твердое тело. На тело действуют внешние силы: вес 
, нормальная реакция 
плоскости и сила трения скольжения 
, направленная в сторону, противоположную движению тела.
Работа силы тяжести определяется по формуле [2]:
(4)
где 
- вертикальное перемещение точки приложения силы , м.
Для тела, перемещающегося по наклонной плоскости вверх, работа силы тяжести определяется
(5)
где 
- приращение перемещения.
Работа силы трения скольжения определяется по формуле
(6)
Сила трения направлена в сторону, противоположную движению, и равна [1]
где 
- коэффициент трения скольжения;
- нормальное давление или нормальная составляющая реакции
связи, 
.
Для тела, перемещающегося по наклонной плоскости, под действием силы тяжести (при отсутствии других сил, кроме силы нормального давления и трения) нормальная реакция равна
Тогда
и работа силы трения скольжения будет равна [3]
(7)
1.2.2 Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
К и н е т и ч е с к а я э н е р г и я твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси 
(рисунок 2), например, барабанов, колес и других роторов, определяется по формуле [1]:
(8)
где 
- момент инерции массы ротора относительно оси вращения, кг×м2;
- угловая скорость вращения ротора, рад/с.
 |
а) б)
а - однородный ротор; б - неоднородный ротор
Рисунок 2 - К определению кинетической энергии и работы сил
при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси
Момент инерции массы роторов относительно оси вращения определяется по формулам:
а) для однородного ротора в виде круглого сплошного диска с центром на оси вращения (см. рисунок 2, а)
(9)
где 
- радиус ротора, м;
б) для ротора произвольной формы (см. рисунок 2,б)
(10)
где 
- радиус инерции тела ротора относительно оси вращения, м.
Угловая скорость ротора, если известна линейная скорость 
какой-либо точки 
обода ротора (см. рисунок 2), определяется по формуле:
Рассмотрим определение р а б о т ы с и л , приложенных к телу. Внешние силы, действующие на роторы (см. рисунок 2): вес ротора; составляющие реакций подшипников 
и 
; момент внешних сил 
Работа силы тяжести уравновешенного ротора и реакций подшипников 
(без учета трения в последних) равна нулю, так как силы приложены к неподвижной точке 
Работа внешних сил, приложенных к ротору, будет определяться работой внешнего момента [1], то есть
При постоянном моменте сил ( 
)
(11)
где 
- угловое перемещение (угол поворота) ротора, рад.
1.2.3 Плоское движение твердого тела
К и н е т и ч е с к а я э н е р г и я тела, совершающего плоское движение (рисунок 3), определяется по теореме Кенига [1]:
(12)
где 
- скорость центра масс тела;
 |
- момент инерции массы тела относительно оси, проходящей через центр масс, кг×м2.
а) б) в)
а – каток; б, в – система блоков
Рисунок 3 - К определению кинетической энергии и работы сил
при плоском движении твердого тела
Линейные скорости точек тела и его угловая скорость вращения определяются с помощью мгновенного центра скоростей (м.ц.с.) 
то есть точки, скорость которой в данный момент равна нулю. Положения мгновенных центров скоростей для характерных случаев показаны на рисунке 3.
Для катка 1 (см.рисунок 3, а), который катится без скольжения по неподвижной плоскости, угловая скорость вращения определяется по формуле:
.
Для подвижного блока 1, показанного на рисунке 3, б, если известна линейная скорость точки А, угловая скорость определится по формуле:
где 
- расстояние от мгновенного центра скоростей 
до точки А.
Так как линейные скорости точек тела 1 пропорциональны расстояниям от м.ц.с. до этих точек, то скорость точки С определится согласно формуле:
Для механизма, показанного на рисунке 3, в, если известны линейные скорости обода блока 1, угловая скорость вращения определяется, исходя из условия пропорциональности скоростей точек, расстояниям до м.ц.с.:
Скорость точки С
Р а б о т а в н е ш н и х с и л , приложенных к телам 1 (см.рисунок 3), определяется также, как и работа сил тяжести (см.п. 1.2.1).
Если каток 1 (см.рисунок 3, а) катится без скольжения, то сила сцепления 
и нормальная реакция приложены в точке (м.ц.с.), скорость которой в данный момент равна нулю 
Работы силы сцепления и нормальной реакции равны нулю.
1.3 Анализ движения механической системы
1.3.1 Если сумма работ внешних сил, приложенных к точкам системы 
то есть работа движущих сил больше работы, затрачиваемой на преодоление сил сопротивления, то на рассматриваемом перемещении кинетическая энергия системы возрастает.
1.3.2 Если же 
то есть работа движущих сил меньше работы, затрачиваемой на преодоление сил сопротивления, то кинетическая энергия системы должна убывать.
Если при решении задачи получили, что 
, то есть кинетическая энергия не убывает, следовательно, движение системы в выбранном направлении произойти не может. Система под действием внешних сил может начать двигаться в обратном направлении (например, за счет сил веса). Система может и не сдвинуться с места, если сопротивление типа трения и достаточно велико.
Если по условию задачи 
, а то кинетическая энергия убывает и в некоторый момент становится равной нулю, система останавливается. Дальнейшее её поведение (покой или движение) можно исследовать аналогично предыдущему.
1.3.3 Нахождение скоростей и ускорений движения тел, входящих в систему, показано в примере расчета (пп. 2.4.4 и 2.4.5).
1.4 Вопросы для самоконтроля
1.4.1 Что называется кинетической энергией системы?
1.4.2 Как вычисляется кинетическая энергия твердого тела при поступательном, вращательном и сложно-плоском его движении?
1.4.3 Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии системы.
1.4.4 Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии материальной точки.
1.4.5 Если данная система изолирована от действия внешних сил так, что в ней действуют только внутренние силы, то будет ли изменяться кинетическая энергия этой системы?
1.4.6 Вычислить изменение кинетической энергии точки массой 
кг, если её скорость увеличилась с 
до 
.
1.4.7 Во сколько раз изменится кинетическая энергия прямолинейно движущейся точки, если её скорость увеличилась в два раза?
1.4.8 Как выражается элементарная работа силы, приложенной к твердому телу, в различных случаях его движения?
1.4.9 Чему равна работа сил, приложенных к прямолинейно движущемуся телу весом 98Н, если скорость тела увеличилась с до ?
1.4.10 Чему равна работа силы трения скольжения, если эта сила постоянна по модулю и направлению?
1.4.11 При каких перемещениях работа силы тяжести: а) положительна; б) отрицательна; в) равна нулю?
1.4.12 При каком условии кинетическая энергия системы на рассматриваемом перемещении возрастает?
1.4.13 Когда кинетическая энергия системы будет убывать?
1.4.14 При каком условии движение системы в выбранном направлении невозможно?
1.4.15 Что называется моментом инерции массы тела?
1.4.16 Что называется радиусом инерции тела?
1.4.17 Как определяется момент инерции массы некоторых однородных тел: тонкого круглого кольца; круглой пластины или цилиндра?
1.4.18 Сформулируйте теорему о моментах инерции относительно параллельных осей.