Пример выполнения задания

2.1 Задача расчета

В результате расчета необходимо определить для выбранного направления движения груза:

а) скорость груза 1 (рисунок 4) в момент, когда пройденный путь s равен заданному значению;

б) ускорение груза 1.

1 - груз; 2 - барабаны; 3 - подвижный блок; 4 - груз

Рисунок 4 - Схема механической системы

2.2 Данные для расчета

Данные для расчета сведены в таблицу 1.

Таблица 1 - Данные для расчета


кг	Н×м	м	град
				0,30	0,25	0,10	2,50	0,2

Примечание - - радиус инерции блока 2.

2.3 Условия расчета

2.3.1 Для расчета применить теорему об изменении кинетической энергии изменяемой системы с идеальными связями (2).

2.3.2 Механическая система, состоящая из нескольких тел, приводится в движение из состояния покоя заданными силами.

2.3.3 Учесть силы трения скольжения груза 1.

2.3.4 Всеми другими силами сопротивления пренебречь.

2.3.5 Считать нити нерастяжимыми, массу нитей не учитывать.

2.4 Расчеты

2.4.1 Определение кинетической энергии

Для расчета воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии для системы с идеальными связями (2):

Кинетическая энергия начального положения системы равна нулю; то есть

так как система приводится в движение из состояния покоя (п. 2.3.2).

Тогда уравнение (2) примет вид:

(13)

Определяем текущее значение кинетической энергии системы. Она равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3, 4 (рисунок 5).

(14)

где Т₁- кинетическая энергия груза 1, Дж;

Т₂ - кинетическая энергия барабанов 2, Дж;

Т₃ - кинетическая энергия блока 3, Дж;

Т₄ - кинетическая энергия груза 4, Дж.

Рисунок 5 - К определению кинетической энергии системы

Предположим, что груз 1 движется вверх по наклонной плоскости. Тогда его кинетическая энергия, как тела, движущегося поступательно, на основании формулы (3) равна

(15)

где - масса груза 1, кг;

- скорость груза 1, м×с^-1.

Кинетическая энергия барабанов 2, вращающихся вокруг неподвижной оси О, определяется по формуле (8):

где - момент инерции массы барабанов относительно их оси вращения, кг×м²;

- угловая скорость барабанов 2, рад×с^-1.

Момент инерции массы барабанов 2 определяется по формуле (10):

где - радиус инерции барабанов 2, м.

Линейная скорость точек обода барабана равна скорости движения груза 1 (см.рисунок 5):

Угловая скорость вращения барабанов 2 равна

Кинетическая энергия барабанов 2

(16)

Кинетическая энергия блока 3, совершающего плоское движение, определяется по формуле (12):

(17)

где - скорость центра масс тела, м×с^-1;

- момент инерции массы блока 3, относительно оси, проходящей через центр масс тела, кг×м²;

- угловая скорость вращения блока 3, рад×с^-1.

Момент инерции блока 3 определяется по формуле (9):

(18)

Зная, что окружные скорости точек обода а определяем положение мгновенного центра скоростей (см.рисунок 5). Расстояние от м.ц.с. до точек D, Е, С равны (см.рисунки 4 и 5).

Угловая скорость вращения равна

(19)

Линейная скорость точки С равна

(20)

Подставляем выражения (18), (19) и (20) в формулу (17). Кинетическая энергия блока 3 равна

(21)

Кинетическая энергия звена 4, совершающего поступательное движение, определяется по формуле (3)

Так как то

(22)

Подставляя выражения (15), (16), (21) и (22) в формулу (14), находим кинетическую энергию всей системы в зависимости от скорости груза 1 [4]:

или

где через обозначена величина, имеющая размерность массы:

Эта масса называется приведенной к ползуну массой системы. Для рассматриваемого примера она равна

Кинетическая энергия всей системы

(23)

2.4.2 Определение работы сил

Сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на заданном перемещении (рисунок 6) равна

(24)

где - работа внешних сил, приложенных к грузу 1, Дж;

- работа внешних сил, действующих на барабаны 2, Дж;

- работа внешних сил, действующих на блок 3, Дж;

- работа внешних сил, действующих на груз 4, Дж.

На груз 1 (см.рисунок 6) действуют силы: вес , нормальная реакция плоскости, сила трения

Рисунок 6 – К определению работы сил, приложенных к системе

Работа силы тяжести определится по формуле (5):

Работа нормальной реакции равна нулю, так как

Работа силы трения скольжения на основании (6) равна

где

Тогда по формуле (7)

Работа всех внешних сил, приложенных к грузу 1,

или

(14)

На барабаны 2 действуют силы: вес , составляющие реакции подшипника и внешний момент .

Работа сил и равна нулю, так как они приложены к неподвижной точке.

Работа внешнего момента определяется по формуле (11):

где - угол поворота барабанов 2.

Выразим угол поворота через перемещение груза :

так как нити нерастяжимы то

Тогда работа внешних сил, приложенных к барабанам 2,

(26)

Работа внешних сил, приложенных к блоку 3, определяется как работа силы тяжести (4):

Перемещение центра тяжести блока 3 выразим через перемещение груза 1. Так как линейные перемещения точек находятся в таком же соотношении, как и соответствующие им линейные скорости, то

Тогда работа внешних сил, приложенных к блоку 3, определится по формуле:

(27)

Работа внешних сил, приложенных к грузу 4, равна

(28)

так как

Подставим выражения (25)-(28) в формулу (24).

Работа всех внешних сил, приложенных к данной системе, равна

или

где через обозначена величина, имеющая размерность силы, называемая приведенной силой [4]:

Вычислим приведенную силу

Следовательно,

(29)

При имеем

Так как получили то есть работа движущих сил больше работы, затрачиваемой на преодоление сил сопротивления, то на рассматриваемом перемещении кинетическая энергия системы возрастает. Это условие выполняется в случае, когда приведенная к ползуну сила положительна .

2.4.3 Определение скорости груза 1

Для определения скорости груза 1 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.

Значения Т из (23) и из (29) подставляем в формулу (13):

Скорость груза 1 равна

При получим, что

2.4.4 Определение ускорения груза 1

Закон изменения кинетической энергии для механической системы можно записать в дифференциальной форме [4]:

Отсюда легко находим дифференциальное уравнение движения системы:

Когда приведенная масса постоянна , будем иметь

или

(30)

где W - ускорение,

Задача о движении механической системы сводится к задаче о движении точки, к которой приведены масса всей системы и силы, приложенные к её точкам.

Ускорение при и определится из формулы (30):

Приведенная к ползуну сила положительна Система будет двигаться в выбранном направлении с ускорением.

П р и м е ч а н и я

1 Когда приведенная к ползуну сила отрицательна то система перемещается в выбранном направлении с замедлением либо она остается в покое, либо движется в обратном направлении (с ускорением).