 |
|
Равновесие системы сходящихся сил
Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая, а следовательно, и главный вектор этих сил были равны нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.
1. Геометрическое условие равновесия. Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнутым.
2. Аналитические условия равновесия. Модуль главного вектора системы сил определяется первой формулой (7):
.
Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то R обратится в нуль только тогда, когда одновременно Rx = 0, Ry = 0, Rz = 0, т.е. когда действующие на тело силы будут удовлетворять равенствам
, 
, 
. (9)
Равенства (9) выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на координатные оси были равны нулю.
Если сходящиеся силы лежат в одной плоскости, то они образуют плоскую систему сходящихся сил. В этом случае получим только два условия равновесия:
, . (10)
3. Теорема о трех силах. Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия сил пересекаются в одной точке.
Для доказательства теоремы сначала рассмотрим две силы, например 
и 
. Линии действия этих сил пересекаются в некоторой точке А (рис. 14). Заменим их равнодействующей 
. Тогда на тело будут действовать две силы: сила и сила 
, приложенная в какой-то точке В тела. Так как тело находится в равновесии, то согласно первой аксиоме, силы и направлены вдоль прямой АВ. Следовательно, линия действия силы тоже проходит через точку А, что и требовалось доказать.
Пример. Рассмотрим брус АВ, закрепленный в точке А шарниром и опирающийся на выступ D (рис. 15).На этот брус действуют три силы: сила тяжести 
, реакция 
выступа и реакция 
шарнира. Так как брус находится в равновесии, то линии действия сил должны пересекаться в одной точке. Линии действия сил и известны и они пересекаются в точке К. Следовательно, линия действия реакции тоже должна пройти через точку К, т. е. должна быть направлена вдоль прямой АК.
Рис. 14 Рис. 15
Задача 2. Груз весом Р лежит на гладкой наклонной плоскости с углом наклона 
(рис. 16, а). Определить значение горизонтальной силы 
, которую надо приложить к грузу, чтобы удержать его в равновесии, и найти, чему при этом равна сила давления 
груза на плоскость.
Решение. Искомые силы действуют на разные тела: сила на груз, сила – на плоскость. Для решения задачи вместо силы будем искать реакцию плоскости 
. 
, Q = N. Тогда заданная сила и искомые силы и будут действовать на одно и то же тело на груз. Рассмотрим равновесие груза.
Геометрический способ. При равновесии треугольник, построенный из сил , и , должен быть замкнутым. Построение треугольника начнем с заданной силы. От произвольной точки a в выбранном масштабе откладываем силу (рис. 16, б). Через начало и конец этой силы проводим прямые, параллельные направлениям сил и . Точка пересечения этих прямых дает третью вершину c замкнутого силового треугольника abc, в котором стороны bc и ac равны в выбранном масштабе силам и . Направление сил определяется правилом стрелок: так как равнодействующая равна нулю, то при обходе треугольника острия стрелок нигде не должны встречаться в одной точке. Модули искомых сил можно найти из треугольника abc путем численного расчета (в этом случае соблюдать масштаб при изображении сил не надо). Замечая, что Ð bac = 900, Ð abc = a получим F = Ptga , N = P / cosa (F / P = tga , P / N = cosa).
Рис. 16
Аналитический способ. Так как система сходящихся сил является плоской, то для нее надо составить два условия равновесия (10)
, .
Для этого сначала проводим координатные оси. Затем вычисляем проекции сил , и на оси x и y и составляем уравнения, получим:
, 
.
Решая эти уравнения, найдем:
, 
.
Глава 2