 |
|
Найти общее решение уравнения.
Задача № 6.
Решить уравнение.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
.20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
Задача № 7.
Найти общее решение уравнения.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
. Пример решения варианта контрольной работы.
1. Найти 
, 
.
Решение:
Воспользуемся формулой (44): 
.
Преобразуем уравнение к виду 
, 
.
Находим 
Следовательно, 
,
.
Ответ:
Задача № 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области 
.
| y |
| x |
| B |
| А |
| 1 |
| 1 |
| -1 |
| 0 |
| (D) |
, 
Решение:
I. Ищем критические точки функции 
, лежащие внутри 
:
Решая систему уравнений 
, находим критические точки 
и 
. Ни одна из них не лежит внутри области . Других критических точек функция не имеет.
II. Находим наибольшее и наименьшее значения на границе заданной области.
а) На участке АОВ имеем 
, где 
.
Ищем наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
:
1) 
; 
при 
; 
.
2) Находим 
.
3) Сравнивая значения во внутренней критической точке и на концах 
, заключаем: наибольшее значение 
на отрезке 
равно 5, т.е. 
, а наименьшее значение на этом отрезке равно нулю (в точке ).
б) На участке АВ имеем 
где 
:
Ищем наибольшее и наименьшее значения 
на отрезке :
1) 
внутри данного отрезка 
при 
; 
.
2) Находим 
.
3) Наибольшее значение 
на отрезке 
равно 5 в точках 
, а наименьшее значение 
на этом отрезке равно 0,77 (в точке ).
Сопоставляя значения 
на участках АОВ и АВ, приходим к выводу: на всей границе наибольшее значение функции 
равно 5 (в точках А и В, а ее наименьшее значение равно 0 (в точке О).
III.Внутри заданной замкнутой области функция 
не имеет точек экстремума, ее наибольшее и наименьшее значения достигаются в точках, лежащих на границе этой области. В граничных точках 
и 
функция имеет наибольшее значение, 
, а в граничной точке 
она имеет наименьшее значение, 
.
Задача № 3. Найти неопределенные интегралы, ответ проверить дифференцированием.
, 
, 
.
Решение:
.
Проверка: 
(верно).
.
Проверка: 
(верно).
.
Проверка: 
(верно).
Задача № 4. Вычислить длину дуги кривой 
(Спираль Архимеда).
Решение: Воспользуемся формулой (55):
.
Т.е. получили 
.
Далее, перенося искомый интеграл 
из правой части равенства в левую и заменяя интеграл, оставшийся в правой части равенства, по формуле 10 из таблицы интегралов, получим
Таким образом, 
Имеем 
Ответ: 
.
Задача 5 . Решить уравнение 
.
Решение: Пусть 
, тогда 
.
Подставив в уравнение, получим 
или
(70)
1. Пусть 
2. Возвращаясь к (70), получаем:
Вычислим 
Имеем 
3. Поскольку 
, то получаем общее решение 
или 
.
Ответ: .
Задача 6.Найти общее решение уравнения 
.
Решение: 1. Корнями характеристического уравнения 
будут 
, следовательно, 
– общее решение соответствующего однородного уравнения.
2. Так как в правой части уравнения 
или 
, 
, 
, 
, то
,
.
Найдем 
и 
. Для этого вычислим
;
.
Подставив значения 
в исходное уравнение, получим тождество
или 
.
Приравнивая коэффициенты при 
и 
, имеем
Решая систему, получим 
, 
.
Частное решение неоднородного уравнения 
.
3. Общее решение 
,
.
Ответ: .