ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ

Термодинамика и молекулярная физика

● Основное уравнение кинетической теории идеального газа:

● Средняя энергия хаотического теплового движения молекул идеального газа:

где i – сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы.

● Закон Дальтона для давления смеси газов:

● Наиболее вероятная, средняя и средняя квадратичная скорости молекул идеального газа:

, , .

● Уравнение состояния идеального газа:

где М – молярная масса (масса моля).

● Первое начало термодинамики:

Q=ΔU+A,

где ΔU – приращение внутренней энергии системы.

● Внутренняя энергия идеального газа:

● Работа, совершаемая газом:

А = ∫ р dV.

● Работа, совершаемая газом при изотермическом изменении объема газа:

● Давление газа и его объем связаны при адиабатическом процессе уравнением Пуассона:

где γ – показатель адиабаты .

● Теплоемкость тела определяется как

Дж/К,

где Q количества тепла, сообщенное телу и повышающее его температуру на 1 К.

● Молярная теплоемкость, т.е. теплоемкость одного моля вещества

● Удельная теплоемкость

● Теплоемкость при постоянном объеме:

где U – внутренняя энергия тела.

● Теплоемкость при постоянном давлении:

● Молярная теплоемкость газа при политропическом процессе (рVⁿ=const):

● Внутренняя энергия идеального газа:

● Уравнение состояния ван-дер-ваальсовского газа (для моля):

(p+ )(V_M-b)=RT,

где V_M – молярный объем, занимаемый при данных р и Т.

● Внутренняя энергия одного моля ван-дер-ваальсовского газа:

● Барометрическая формула:

где р₀ – давление на высоте h=0.

● Распределение Максвелла молекул по скоростям:

● Распределение Максвелла молекул по проекции скорости:

● Распределение Максвелла по модулю скорости:

● Распределение Больцмана

где n – концентрация молекул, обладающих потенциальной энергией W_p, n₀ - концентрация молекул, с нулевой потенциальной энергией.

● К.П.Д. тепловой машины:

где – Q₁ – тепло, получаемое рабочим телом, Q₂ – отдаваемое тепло.

● К.П.Д. цикла Карно:

где Т₁ и Т₂ – температуры нагревателя и холодильника.

● Неравенство Клаузиуса:

где δQ – элементарное тепло, полученное системой (δQ – величина алгебраическая).

● Приращение энтропии системы:

● Основное соотношение термодинамики:

● Связь между энтропией и статистическим весом Ω (термодинамической вероятностью):

где k – постоянная Больцмана.

● Соотношения между постоянными Ван-дер-Ваальса и параметрами критического состояния вещества:

, , .

● Связь между критическими параметрами моля вещества:

● Уравнение Клапейрона – Клаузиуса:

где q₁₂ – удельная теплота поглощаемая при переходе 1→2, V₁^’ и V₂^’ – удельные объемы фазы 1 и 2.

● Относительное число молекул газа, пролетающих путь s без столкновений:

где λ – средняя длина свободного пробега.

● Средняя длина свободного пробега молекулы газа:

где - средняя арифметическая скорость, - среднее число столкновений каждой молекулы с остальными в единицу времени, σ – эффективный диаметр молекулы, n – концентрация молекул.

● Общее число столкновений всех молекул в единице объема за единицу времени:

● Масса, перенесенная за время Δt при диффузии,

где - относительное изменение плотности в направлении х, перпендикулярном к площадке ΔS.

● Импульс, перенесенный газом за время Δt, определяет силу внутреннего трения F_тр в газе:

где - относительное изменение скорости течения газа в направлении х, перпендикулярном к площадке ΔS.

● Количество теплоты, перенесенное за время Δt вследствие теплопроводности, определяется формулой:

где - относительное изменение температуры газа в направлении х, перпендикулярном к площадке ΔS.

● Коэффициент диффузии D, вязкости η и теплопроводности א газов:

, , ,

где ρ – плотность газа, с_V – его удельная теплоемкость при постоянном объеме.

● Сила трения, действующая на единицу поверхности пластин при их движении параллельно друг другу в ультраразреженном газе:

где u₁ и u₂ скорости пластин.

● Плотность потока тепла, переносимого ультраразреженным газом между двумя стенками:

где Т₁ и Т₂ – температуры стенок.

Твердые тела

● Изменение температуры плавления dТ при изменении давления на dр дается уравнением Клаузиуса-Клапейрона

где q₀ – молярная теплота плавления, V_0ж – молярный объем жидкости, V_0Т - молярный объем твердого тела, Т – термодинамическая температура плавления.

● При не очень низких температурах для твердых тел имеет место закон Дюлонга и Пти, согласно которому молярная теплоемкость всех химически простых твердых тел равна приблизительно 3R = 25 Дж/(моль∙К).

● Количество теплоты Q, переносимое вследствие теплопроводности за время Δτ, определяется формулой:

где ΔТ/Δх – изменение температуры в направлении х, перпендикулярном к площадке ΔS, λ – теплопроводность.

● При повышении температуры длина твердых тел возрастает в первом приближении линейно с температурой:

где ℓ - длина тела при температуре t, ℓ₀ – его длина при температуре t₀=0 ^оС, а – температурный коэффициент линейного расширения. Для твердых изотропных тел а=b/3, где b – температурный коэффициент объемного расширения.

Элементы кристаллографии

● Объем V₀ одного килограмм-моля кристалла:

где μ – киломоль, ρ – плотность кристалла.

● Объем V элементарной ячейки кристалла:

а) при кубической сингонии:

V = а³;

б) при гексагональной сингонии:

где а и с – параметры ячейки.

● Число Z₀ элементарных ячеек в одном килограмм-моле кристалла

или

где k – число одинаковых атомов в химической формуле соединения, N_А – число Авогадро, n – число одинаковых атомов, приходящихся на элементарную ячейку.

● Число Z₀ элементарных ячеек в единице объема кристалла

а) в общем случае:

;

б) для кристалла, состоящего из одинаковых атомов (k=1):

где А – килограмм-атом.

● Параметр кубической решетки

● Расстояние d между соседними атомами в кубической решетке:

а) в гранецентрированной:

;

б) в объемноцентрированной:

Тепловые свойства твердых тел.

● Энергия одного килограмм-атома химически простых (состоящих из одинаковых атомов) твердых тел в классической теории теплоемкости выражается формулой:

Е=3RТ,

где R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура.

● Теплоемкость одного килограмм-атома химически простых твердых тел определяется по закону Дюлонга и Пти:

С_μ=3R.

● Для химически сложных тел (состоящих из различных аомов) теплоемкость одного киломоля определяется по закону Неймана-Коппа:

С_μ=n∙3R,

n – общее число частиц в химической формуле соединения.

● Среднее значение <ε> энергии квантового осциллятора, приходящееся на одну степень свободы, в квантовой теории Эйнштейна выражается формулой:

где ε₀ – нулевая энергия (ε₀=0,5hν), h – постоянная Планка, ν – частота колебаний осциллятора, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура.

● Энергия одного килограмм-атома кристалла в квантовой теории теплоемкости определяется как:

где - нулевая энергия килограмм-атома, - характеристическая температура.

● Теплоемкость одного килограмм-атома кристалла в квантовом состоянии:

● Частотный спектр колебаний в теории Дебая задается функцией распределения частот g(ν). Число dZ собственных частот твердого тела, приходящихся на интервал частот от ν до ν+dν

dZ= g(ν)dν.

● Для трехмерного кристалла, содержащего N атомов:

ν_max – максимальная частота, ограничивающая спектр колебаний.

● Энергия твердого тела:

● Энергия одного килограмм-атома кристалла по Дебаю:

где - нулевая энергия одного килограмм-атома кристалла по Дебаю, характеристическая температура Дебая.

● Теплоемкость одного килограмм-атома кристалла по Дебаю:

● Энергия фонона связана с частотой ν колебаний:

ε=hν.

● Квазиимпульс фонона:

р=h/λ=ħk,

где λ – длина волны, ħ= h/2π, k=2π/λ – волновое число.

● Скорость фонона (групповая):

● Фазовая скорость фонона:

● Скорости волн в кристалле:

продольных – υ_ℓ = , поперечных – υ_t = ,

где Е – модуль продольной упругости, G - модуль поперечной упругости, ρ – плотность твердого тела.

● Усредненное значение скорости звука определяется формулой:

● Теплота перенесенная через поверхность площадью S, перпендикулярную направлению теплового потока за время dt, определяется законом Фурье:

א – коэффициент теплопроводности, dT/dx – проекция градиента температуры.

● Коэффициент теплопроводности א связан с удельной теплоемкостью (на единицу объема) , скоростью звука υ и средней длиной свободного пробега фононов λ:

א =⅓ λυ

● Линейный коэффициент теплового расширения по определению:

● Плотность тока насыщения при термоэлектронной эмиссии с катода дается формулой Ричардсона – Дэшмана:

где В=120(1-R) А/(см²К²), R - коэффициент отражения электронов проводимости от потенциального барьера на поверхности эмиттера, А – работа выхода электронов с поверхности катода.

Полупроводники.

● Удельная проводимость σ собственных проводников:

σ=n∙e(u_n+u_p),

где е – заряд электрона, n – концентрация носителей тока, u_n и u_p - подвижность электронов и дырок.

● Напряжение U_X на гранях образца при эффекте Холла:

U_X=R_XBbj,

где R_X - постоянная Холла, В – индукция магнитного поля, b – ширина пластины, j – плотность тока.

● Постоянная Холла для полупроводников типа алмаз, кремний, германий и др., обладающих носителями тока одного вида