Площадь криволинейной трапецииСтр 1 из 2Следующая ⇒
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ Пусть функция у =f(x) определена на отрезке [a;b], a<b. Выполняются следующие действия. 1. Отрезок[a;b]разбиваетсяточками x0=a,x1, x2, …,xn= b (x0<x1<x2<…<xn) на nчастичных отрезков[x0;x1], [x1;x2],…, [xn-1;xn]:
2. В каждом частичном отрезке[xi–1;xi], выбирается точка сi [xi–1;xi] и вычисляется в ней значение функции f(сi). 3. Находятся произведения f(сi)·∆xi, где ∆xi=xi–xi–1 –длина частичного отрезка. 4. Составляется сумма Sn = f(с1)·∆x1+f(с2)·∆x2+…+f(сn)·∆xn= . (1) Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции у =f(x) на отрезке [a;b]. Пусть λ – длина наибольшего частичного отрезка: , . 5. Находится предел интегральной суммы (1) при , так что . Если , который не зависит ни от способа разбиения [a;b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у =f(x) на [a;b]: ,(2) где aи b – нижний и верхний пределы интегрирования; f(x) – подынтегральная функция; f(x)dx–подынтегральное выражение;x– переменная интегрирования; [a;b] – область интегрирования. • Функция у =f(x), для которой на [a;b] существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке. Теорема 1.(Коши)Если f(x) С[a;b], то . _______________________________ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Площадь криволинейной трапеции Пусть f(x) С[a;b], f(x) ≥0. Фигура, ограниченная сверху графиком функцииу =f(x), снизу – осьюОх, сбоку – прямыми x= a, x= b, называется криволинейной трапецией. Необходимо найти площадь этой трапеции. Произведение f(сi)·∆xi равно площади прямоугольника с основанием ∆xi=xi–xi–1 и высотой f(сi). Сумма таких произведений равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади криволинейной трапеции: . Если , то : или . Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции(геометрический смысл определенного интеграла). ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|