Основные определения.Стр 1 из 10Следующая ⇒
Числовые ряды. Пусть дана бесконечная числовая последовательность . Числовым рядом называется составленная из членов этой последовательности запись . (18.1.1) Эквивалентная (18.1.1) форма записи ряда - с применением символа суммы: . Числа называют членами ряда; , называется общим членом ряда. В результате вычисления значений этой функции при n=1, n=2, n=3, … должны получаться члены ряда . Примеры. 1. Пусть . Записать ряд. При n=1 получаем , при n=2 , при n=3 и т.д., ряд имеет вид . 2. Пусть ряд имеет вид . Придумать формулу общего члена. Эта задача имеет много решений, мы придумаем одно из них. Числители растут линейно с n с шагом 2, поэтому в формуле для числителя должно содержаться 2n. Подбором убеждаемся, что для числителей верна формула 2n-1 (=1 при n =1, 3 при n =2 и т.д.). Также подбором убеждаемся, что для знаменателей можно взять формулу , поэтому . Если нумерацию членов ряда начать с n = 0, то . Основным понятием теории рядов является понятие сходимости числового ряда. Пусть дан ряд (18.1.1). Составим из его членов конечные суммы, называемые частичными суммами ряда: Определение. Если существует конечный предел S последовательности частичных сумм ряда (18.1.1) при , то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут или . Если не существует (в том числе бесконечен), ряд называется расходящимся. Примеры. 1. Ряд 1+1+1+…+1+…, очевидно, расходится, так как . 2. Ряд 1-1+1-…+(-1)n-1+… тоже расходится, так как и вообще а такая последовательность предела не имеет. Дальше мы рассмотрим два ряда, к которым в той или иной мере будет сводиться большинство рядов: геометрическую прогрессию и гармонический ряд. 3. Геометрической прогрессией называется ряд . (18.1.2) Число q называют знаменателем прогрессии. Сразу отметим, что при ряд расходится. При получаем ряд структуры, рассмотренной в примере 1, при - ряд структуры, рассмотренной в примере 2. Пусть теперь . Выведем формулу для частичных сумм. Пусть , тогда . Легко убедиться, что . Решая это уравнение относительно , получим . В этом выражении от n зависит только , при этом Следовательно, конечный существует при , и . Итак, геометрическая прогрессия сходится, если её знаменатель удовлетворяет условию , и её сумма равна . 4. Гармоническим рядом называется ряд . (18.1.3) Докажем, что этот ряд расходится. Рассмотрим частичные суммы с числом слагаемых, равных степеням числа 2: . Сумма членов в каждой скобке больше 1/2: , , и т.д. Таким образом, . Последовательность, у которой есть стремящаяся к бесконечности подпоследовательность, не может иметь конечного предела, поэтому гармонический ряд расходится. В дальнейшем мы редко будем находить сумму ряда; в основном, будет ставиться вопрос о сходимости или расходимости ряда. Для вычисления суммы обычно применяются разложения в ряд элементарных функций, которые мы будем изучать дальше, или искусственные приёмы, например, разложения функции на простые слагаемые: 5. . Если общий член ряда представить в виде суммы простых слагаемых , то . Итак, этот ряд сходится, и его сумма равна 1. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|