Стандартные разложения. ⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 10
1. . Всё начинается с геометрической прогрессии. На первой лекции по рядам (см. раздел 1. Основные определения) мы доказали, что эта функция является суммой ряда , и ряд сходится к функции при . Итак, . Выпишем несколько разновидностей этого ряда. Заменив х на -х, получим ; при замене х на получаем ; ; и т.д.; область сходимости всех этих рядов одна и та же: . 2. . Все производные этой функции в точке х=0 равны , поэтому ряд имеет вид . Область сходимости этого ряда - вся числовая ось (пример 6 раздела 18.2.4.3. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда), поэтому при . Как следствие, остаточный член формулы Тейлора . Поэтому ряд сходится к в любой точке х. 3. . Здесь дальше производные периодически повторяются. Ряд Маклорена имеет вид . Этот ряд абсолютно сходится при , и его сумма действительно равна . Остаточный член формулы Тейлора имеетвид , где или - ограниченная функция, а (это общий член предыдущего разложения). 4. . Это разложение можно получить, как и предыдущие, последовательным вычислением производных, но мы поступим по другому. Почленно продифференцируем предыдущий ряд: . Сходимость к функции на всей оси следует из теоремы о почленном дифференцировании степенного ряда. 5.Самостоятельно доказать, что на всей числовой оси , . 6. . Ряд для этой функции называется биномиальным рядом. Здесь мы будем вычислять производные. … Ряд Маклорена имеет вид Ищем интервал сходимости: , следовательно, интервал сходимости есть . Исследование остаточного члена и поведение ряда на концах интервала сходимости проводить не будем; оказывается, что при ряд абсолютно сходится в обеих точках , при ряд условно сходится в точке и расходится в точке , при расходится в обеих точках. 7. . Здесь мы воспользуемся тем, что . Так как , то, после почленного интегрирования, . Область сходимости этого ряда - полуинтервал , сходимость к функции во внутренних точках следует из теоремы о почленном интегрировании степенного ряда, в точке х=1 - из непрерывности и функции, и суммы степенного ряда во всех точках, сколь угодно близких к х=1 слева. Отметим, что взяв х=1, мы найдём сумму ряда . 8.Почленно интегрируя ряд , получим разложение для функции . Выполнить все выкладки самостоятельно, выписать область сходимости. 9.Выпишем разложение функции по формуле биномиального ряда с : . Знаменатель представлен как , двойной факториал означает произведение всех натуральных чисел той же чётности, что и , не превосходящих . Разложение сходится к функции при . Почленно интегрируя его от 0 до х, получим . Оказывается, что этот ряд сходится к функции на всём отрезке ; при х=1 получаем ещё одно красивое представление числа : . 2.6.2. Решение задач на разложение функций в ряд.Большинство задач, в которых требуется разложить элементарную функцию в ряд по степеням , решается применением стандартных разложений. К счастью, любая основная элементарная функция имеет свойство, которое позволяет это сделать. Рассмотрим ряд примеров. 1. Разложить функцию по степеням . Решение. . Ряд сходится при . 2. Разложить функцию по степеням . Решение. . Область сходимости: . 3. Разложить функцию по степеням . Решение. . Ряд сходится при . 4. Разложить функцию по степеням . Решение. . Ряд сходится при . 5. Разложить функцию по степеням . Решение. . Область сходимости . 6. Разложить функцию по степеням . Решение. Разложение в ряд простых рациональных дробей второго типа получается почленным дифференцированием соответствующих разложений дробей первого типа. В этом примере . Дальше почленным дифференцированием можно получить разложения функций , и т.д. 7. Разложить функцию по степеням . Решение. Если рациональная дробь не является простой, она сначала представляется в виде суммы простых дробей: , а затем действуем, как в примере 5: , где . Естественно, такой подход неприменим, например, для разложения функции по степеням х. Здесь, если надо получить несколько первых членов ряда Тейлора, проще всего найти значения в точке х=0 требуемого количества первых производных. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|