Две формы записи линейных дифференциальных уравнений
Пусть дано уравнение a0ÿ + a1 + a2y = b0x + b1 + cf, (1.2.1) . Введём обозначение оператора дифференцирования . Тогда =pу, =p2y, =p3y. (1.2.2) Найдем оператор интегрирования или = х, или py = x, откуда . — оператор интегрирования. Запишем уравнение (1) в операторном виде (a0p2+a1p+a2)y=(b0+b1p)+cf. (1.2.3) Первая форма записи В первой форме выходная переменная записывается в одной части уравнения, а входные переменные в другой части уравнения, причём коэффициент при самой выходной переменной ( у ) должен быть равен единице. Введем обозначения . Тогда уравнение (1) и (3) перепишутся в виде T12 +T2 +y=m0x+m1x+nf, (1.2.4) (T12p2+T2p+1)y=(m0+m1p)x+nf. (1.2.5) D(p)
В первой форме записи коэффициенты Т1, Т2 при любых физических переменных у имеют размерность времени. Это обеспечивает универсальность данной формы записи. Коэффициенты m0 , m1, n называют коэффициентами передачи. Если коэффициенты m0 , n безразмерные, то они называются коэффициентами усиления. Коэффициенты Т1, Т2 называются постоянными времени. Коэффициент Т1, стоящий при старшей производной, характеризует инерционность звена, чем больше Т1 , тем более инерционные процессы. Вторая форма записи Решим уравнение (5) относительно выходной переменной у y=y1+y2=W1(p)x+W2(p)f, (1.2.6) где (1.2.7) y1=W1(p)x , y2=W2(p)f , (1.2.8) (1.2.9) W1,W2 — передаточные функции. Передаточная функция равна отношению выходного сигнала к входному. Если использовать преобразование Лапласа, то передаточная функция равна отношению преобразованного по Лапласу выходного сигнала к преобразованному по Лапласу входному сигналу при нулевых начальных условиях. Передаточная функция показывает какие математические операции надо проделать с входным сигналом, чтобы получить выходной сигнал. Уравнение (6) представляет собой вторую форму записи дифференциального уравнения (1), то есть запись через передаточные функции. Вторая форма записи позволяет представить дифференциальное уравнение и системы дифференциальных уравнений в графическом виде. Для этого вводятся следующие графические обозначения:
Сумматор Компаратор Рисунок 1.2.1. Уравнение (6) в графическом виде будет выглядеть так:
Рисунок 1.2.2. Структурная схема уравнения (1). ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|