Главная | Обратная связь

Связь решений однородных и неоднородных систем линейных уравнений

Рассмотрим произвольную неоднородную систему линейных уравнений над полем Р:

a₁₁x₁+…+ a_1nx_n=b₁

……………… (I)

a_m1x₁+…+a_mnx_n=b_m.

 

По ней можно составить следующую однородную систему:

a₁₁x₁+…+a_1nx_n=0

……………… (II)

a_m1x₁+…+a_mnx_n=0 .

 

Определение 11.Однородная система (II) называется приведенной однородной системой для неоднородной системы (I).

Нетрудно доказать, что решения (I) и (II) связаны между собой следующим образом:

1) Пусть c=(g₁,…,g_n), g=(d₁,…,d_n) – два решения неоднородной системы (I). Тогда их разность (с–g) – решение приведенной однородной системы (II).

Доказательство. Так как c, g – решения системы (I), то справедливы тождества:

, (1)

. (2)

Далее, c–g=(g₁-d₁,…,g_n-d_n). Подставим (c–g) в левые части уравнений системы (II):

(мы использовали равенства (1) и (2)). Значит, (c-g) – решение системы II.

Свойство доказано.

2) Если с – решение неоднородной системы (I), h – решение приведенной однородной системы (II), тогда (c+h) – решение неоднородной системы (I).

Доказательство аналогично предыдущему.

3) Пусть М – множество всех решений приведенной однородной системы (II) и с – решение неоднородной системы (I). Тогда

с+М={c+h |hÎM} – все решения неоднородной системы (I).

Доказательство. В силу свойства 2) (c+h) является решением (I). Покажем теперь, что любое решение g системы (I) содержится в множестве с+М.

По свойству 1) (g-c)ÎM, т.е. (g-c)=hÎM, откуда g=(h+c)Î(c+M).

Свойство доказано.

4) Пусть с – частное решение неоднородной системы (I), f₁,…,f_n-r – фундаментальная система решений приведенной однородной системы (II). Тогда f= c+С₁f₁+…+С_n-rf_n-r – общее решение неоднородной системы (I).

Справедливость этого утверждения следует из свойства 3 и того, что

М={c₁f₁+…+c_n-rf_n-r | c_iÎP}.

Свойство 4) показывает, что для нахождения общего решения неоднородной системы (I) достаточно найти одно частное решение этой системы и фундаментальную систему решений приведенной однородной системы (II).