 |
|
Операции над линейными преобразованиями
Определим во множестве Ф всех линейных преобразований линейного пространства L над полем Р ряд естественных операций. Пусть j, yÎ Ф.
Определение 7. Суммой линейных преобразований j и y называют преобразование, j+y задаваемое так: (j+y)(а)=j(а)+y(а) (для любого аÎL).
Утверждение 1. Сумма линейных преобразований линейного пространства L также является также линейным преобразованием L.
Доказательство. Для любых a, b ÎL по определению 1 имеем: (j+y)(а+b)=j(a+b)+y(a+b)=j(a)+j(b)+y(a)+y(b)=(j+y)(a)+(j+y)(b) (при доказательстве мы использовали линейность j и y).
Аналогично для любого вектора аÎL и числа aÎP имеем:
(j+y)(aa)=j(aa)+y(aa)=aj(a)+ay(a)=a(j(a)+y(a))=a[(j+y)(a)].
Мы проверили свойства линейности для j+y. Значит (j+y)ÎФ.
Утверждение доказано.
Утверждение 2. Матрицей суммы линейных преобразований конечномерного линейного пространства в фиксированном базисе является сумма матриц слагаемых в том же базисе.
Доказательство. Пусть j и y в базисе е линейного пространства L имеют матрицы А и В. Тогда для любого вектора а из L имеем: [j(a)]=A[a], [y(a)]=B[a]. Так как (j+y)(а)=j(а)+y(а), то [(j+y)(a)]=[j(a)]+[y(a)]=А[а]+В[а]=(A+B)[а]. Из равенства [(j+y)(a)]=(A+B)[a] в силу замечания 4 к утверждению 1 из §2 данной главы, следует, что (j+y) имеет в базисе е матрицу A+B.
Утверждение доказано.
Утверждение 3. Операция сложения линейных преобразований в Ф ассоциативна и коммутативна.
Доказательство. Докажем ассоциативность. Пусть j, y и cÎФ. Тогда, для любого а из L имеем:
[(j+y) +c](а) = (j+y)(а)+c(а)= j(а)+y(а)+c(а) = j(а)+(y+c)(а) = [j+(y+c)](а), т.е. справедливо равенство: [(j+y)+c]а=[j+(y+c)]а. Это означает равенство линейных преобразований
(j+y) +c и j+(y+c) (по определению равенства отображений).
Ассоциативность доказана.
Осталось доказать коммутативность. Для любых j и y из Ф выполняются равенства (j+y)(а)= j(а)+y(а) =y(а)+j(a)=(y+j)(a), откуда следует равенство j+y=y+j.
Коммутативность доказана.
Утверждение доказано.
Замечание 1. Очевидным является существование во множестве Ф нулевого элемента q (q(а)=0, "аÎL), а также у каждого элемента – противоположному ему.
Утверждение 4. Множество Ф всех линейных преобразований линейного пространства L – это коммутативная группа по сложению.
Справедливость этого вытекает из доказанных выше утверждений 1–3 и замечания 1 к утверждению 3.
Определение 8. Произведением линейного преобразования j на число aÎР называют отображение, определяемое так: (aj)(а)=a(j(а)) для любого аÎL.
Утверждение 5. Произведение линейного преобразования на число является линейным преобразованием.
Доказательство. Это вытекает из соотношений, выполняющихся при любых a, b ÎL, bÎP:
(aj)(a+b)=a(j(a+b))=a(j(a)+j(b))=(aj)(a)+(aj)(b),
(aj)(ba)=a[j( ba)]=a(bj(a))=(ab)(j(a))= b((aj)(a)).
Утверждение доказано.
Утверждение 6. При умножении линейного преобразования j конечномерного линейного пространства на число его матрица умножается на это число.
Справедливость этого утверждения следует из равенств:
[aj(a)]=a[j(a)]= a(A[a])= (aA)[a] и замечания 4 к утверждению 1 из §2 этой главы.
Из утверждений 4 и 5 нетрудно получить, что Ф – линейное пространство над полем Р.
Определение 9. Произведением линейных преобразований j и y из Ф называют результат их последовательного применения, т.е. преобразование yj, действующее по правилу: (yj)(а)=y(j(а)) для любого аÎL (преобразование, действующее первым, записывают справа).
Замечание 2. В определении 9 использована левая запись преобразований. Иногда используют правую запись: a(jy)=(aj)y. Тогда произведение j и y обозначают через jy.
Утверждение 7.Преобразование yj является линейным, т.е. принадлежит Ф.
Справедливость этого утверждения вытекает из следующих соотношений (для любых a, b из L и любого aÎP):
(yj)(a+b)=y(j(a+b))=y(ja+jb)=(yj)(a)+(yj)(b),
(yj)(aa)=y(j(aa))=y(aj(a))=ay(j(a))=a(yj(a)).
Значит, jyÌФ, т.е. умножение преобразований является алгебраической операцией в Ф.
Утверждение доказано.
Утверждение 8. Пусть в конечномерном линейном пространстве L выбран базис е. Если А и В – матрицы преобразований j, yÎФ в базисе e, то матрицей yj в базисе e является матрица BA (матрица преобразования, действующего первым, записывается справа).
Доказательство. Из равенства (yj)(а)=y(j(а)) вытекает: [yj(a)]=[y(j(a))]= B[j(a)]=ВА[а]. В силу замечания 4 к утверждению 1 из §2 yj имеет в базисе е матрицу ВА.
Утверждение доказано.
Замечание 3.При доказательстве утверждений о матрицах линейных преобразований j+y, aj, yj мы использовали метод, предложенный Г.С. Шевцовым в [5].