Преобразование Лапласа.
Условимся пол р понимать комплексное число p = a + jb, (147) где а — действительная, jb — мнимая части комплексного числа (в ряде книг вместо буквы р пишут s). В дальнейшем в соответствии с установившейся практикой коэффициент b с учетом знака условимся называть не коэффициентом при мнимой части комплекса (чем он в действительности является), а мнимой частью. Функцию времени (ток, напряжение, ЭДС, заряд) обозначают f(t) и называют оригиналом. Ей соответствует функция F(p), называемая изображением, Для прямого преобразования функций времени f(t) применяется преобразование Лапласа F(p) .=˙ ∫ f(t) e –рt dt (148 ) Знак .=˙ называют знаком соответствия. Соответствие между функциями F(p) и f(t) записывают так: F(p) .=˙ f(t) (149 ) где функция времени f(t) - однозначная, называемая оригиналом, определенная при t > 0, интегрируемая в интервале времени 0 ÷ ∞ и равная нулю при t < 0; F(p) — функция комплексного переменного р = σ + jω при Rep = σ > 0, называемая лапласовым изображением. Верхний предел интеграла (148) равен бесконечности. Интегралы с бесконечным верхним пределом называют несобственными. Если в результате интегрирования и подстановки пределов получают конечное число (не бесконечность), то говорят, что интеграл сходится. В курсе математики доказывается, что интеграл (148), в состав которого входит функция е –рt = е –аtе -jb, сходится только в том случае, когда модуль функции f(t), если и увеличивается с ростом t, то все же медленнее, чем модуль функции е –рt, равный е –аt. Практически все функции f(t), с которыми имеют дело в курсе ТОЭ, этому условию удовлетворяют. Составим изображения некоторых простейших функций. 5.5. Изображение постоянной. Требуется найти изображение функции f(t) = А, где А— постоянная величина. С этой целью в (8.3 1) вместо f(t) подставим А и проведем интегрирование: F(p) = о∫∞ А е –рt dt = А(-1/р) о∫∞ d(е –рt) t = - (А е –рt \р) |∞о = А / р ( 150 ) Следовательно, изображение постоянной равно постоянной А, деленной на р. А .=˙ А/р. (151) 5.6. Изображение показательной функции е аt . Вместо f(t) в (148) подставим е аt: F(p) = о∫∞ е –аtе -рt dt = о∫∞ е –t(р-а) dt = [-1 /(р- α)] о∫∞ е –t(р-а) d[-t (р- α)] = = [-1 /(р-а)] е –t(р-а) |∞о = [1 /(р-α)] ( 152 ) Таким образом е аt .=˙ [1 /(р- а)] ( 153 ) При выводе формулы (152) (при подстановке пределов) было учтено, что действительная часть оператора р больше, чем а, т. е. р > α. Только при этом условии интеграл сходится. Из формулы (8.34) вытекает ряд важных следствий. Положив в ней α = е аt, получим е jωt .=˙ [1 /(р-jω)] (154) Формула (154) дает возможность найти изображение комплекса синусоидального тока: İm e j(ωt+ψ) = İm e jωt С этой целью обе части (154) умножим на постоянное число İm : İm e jωt .=˙ İm[1 /(р-jω)] ( 155 ) Аналогично, изображение комплекса синусоидального напряжения Um e jωt .=˙ Um [1 /(р-jω)] ( 156 ) Функции е –аt соответствует изображение 1/(р + α): е –аt .=˙ 1/(р + α) ( 157 ) В таблице 5 приведены примеры изображения простых функций. Таблица 5. Изображение функций по Лапласу
§ 5.7. Изображение первой производной. Известно, что функции f(t), соответствует изображение F(p). Требуется найти изображение первой производной d[f(t)] /dt, если известно, что значение функции f(t), при t = 0 равно f(0) . Подвергнем функцию df(t)/dt преобразованию Лапласа: о∫∞ [df(t)/dt] е -рtdt = о∫∞ е –рt d[f(t )] ( 158 ) Интегрирование произведем по частям ∫ и dv = иv - ∫ vdu. Обозначив е –рt = u и df(t) / dt = dv, получим о∫∞ е –рt d[f(t )] = е –рt f(t )∞о - о∫∞ f(t ) d( е –рt) ( 159 ) Но е –рt f(t )∞о = 0 - f(0) = - f(0) ( 160 ) второе слагаемое о∫∞ f(t ) d( е –рt)= р о∫∞ f(t ) е –рt dt = р F(p) Таким образом, о∫∞ [df(t)/dt] е -рtdt = pF(p) - f(0), (161) или df(t)/dt .=˙ pF(p)-f(0). (162) 5.8. Изображение второй производной. Без вывода дадим формулу d2[f(t)] /dt2 .=˙ р2 F(p) - р f(0) - df(t)/dt│t=0 ( 163 ) Следовательно, изображение второй производной тока d2i /dt2 .=˙ р2 i (p) - р i(0) - i’(0) ( 164 ) 5.9. Изображение интеграла. Требуется найти изображение функции о∫t f(t)dt, если известно, что изображение функции f(t) равно F(р). Подвергнем функцию о∫t f(t)dt преобразованию Лапласа: о∫∞ {о∫t f(t)dt } е -рtdt = -(1/р) о∫∞ {о∫t f(t)dt }dе -рt ( 165 ) Примем о∫t f(t)dt = и; d( е -pl) = dv и возьмем интеграл по частям: -(1/р)о∫∞ {о∫t f(t)dt }dе -рt = -(1/р) {о∫t f(t)dt } е -рt |о∞ + (1/р) о∫∞ f(t) е -рt dt= F(p)/ p Первое слагаемое правой части при подстановке верхнего и нижнего пределов обращается в нуль. При подстановке верхнего предела нуль получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию f(t). Функция f(t), если и растет с увеличением t, то все же медленнее, чем растет функция еαt, где α — действительная часть р. При подстановке нижнего предела нуль получим за счет обращения в нуль о∫t f(t)dt . Следовательно, если f(t) .=˙ F(p), то о∫t f(t)dt .=˙ F(p) / р ( 166 ) Преобразование (166) позволяет получить соотношения~между напряжением u(t) = и и током i(t) = i в операторной форме для резистивного, индуктивного и емкостного элементов. Изображение напряжения на резистивном элементе ur(t) = ri(t) равно Ur(р) = r о∫∞ е –рt i(t) dt = r i(p) (167)
Рис.29. Схема замещения в операторной форме. 5.10. Изображение напряжения на индуктивном элементе. Изображение тока i равно I(р). Запишем изображение напряжения на L →uL = L(di/dt) . По формуле (162), (di/dt) .=˙ р I(р) - i(0), где i(0) - значение тока i при t = 0. Следовательно, UL(p) = L(di/dt) .=˙ Lp I(p) - L i(0). ( 168 ) где i(0) = i(0-) = i(0+) - ток в индуктивном элементе в момент коммутации t =0, учитывающий начальные условия
Рис.30. Схема замещения индуктивности в операторную форму. Если i(0) = 0, то L(di/dt) .=˙ Lp I(p) (169) 5.11. Изображение напряжения на конденсаторе. Напряжение на конденсаторе ис часто записывают в виде ис = -(1|C)∫ icdt, где не указаны пределы интегрирования по времени. Более полной является следующая запись: ис = ис(0) + (1|C)∫ icdt ( 170 ) где учтено, что к моменту времени t напряжение на конденсаторе определяется не только током, протекшим через него в интервале времени от 0 до t, но и тем напряжением ис(0), которое на нем было при t = 0. В соответствии с формулой (166) изображение — (1|C)∫ icdt равно I(p)/ (С р), а изображение постоянной ис(0) есть постоянная, деленная на р. Поэтому изображение напряжения на конденсаторе записывают следующим образом: ис = I(p)/ Ср + ис(0) / р ( 171 ) Рис.31. Схема замещения конденсатора в операторной форме Приведем простейшие операторные соотношения; часть их была выведена ранее, другая дается без вывода: Частный случай ис(0-) = 0 для емкостного элемента ис = I(p)/ Ср ( 172 ) На следующей странице приведены формулы соответствия отдельных функций. Отметим некоторые свойства преобразования Лапласа, называемые также теоремами. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|