Випадкової величини
Приклад 5. Маємо три ящики. У першому мiстяться 6 стандартних i 4 бракованi однотипнi деталi, у другому − 8 стандартних i 2 бракованi деталi, а в третьому − 5 стандартних i 5 бракованих. Iз кожного ящика навмання беруть по однiй деталi. ДВВ Х − число стандартних деталей серед трьох вилучених. 1. Знайти ряд розподілу дискретної випадкової величини Х. 2. Побудувати многокутник ймовірностей. 3. Знайти функцію розподілу та накреслити її графік. 4. Обчислити , , , . Розв'язання: Зробимо аналіз задачі та визначимо, які конкретні значення може набути ДВВ Х . Середтрьох навмання взятих деталей число стандартних може бути 0; 1; 2; 3. У табличнiй формi закон розподiлу цієї дискретної випадкової величини можна записати:
Обчислимо ймовiрностi . Із цією метою позначимо: − поява стандартної деталі з першого ящика; − поява стандартної деталі з другого ящика; − поява стандартної деталі з третього ящика. Тоді , , − поява бракованих деталей відповідно із першого, другого і третього ящиків. Імовірності цих подій визначаємо за класичним означенням: , , . Використаємо співвідношення для протилежних подій та обчислимо: , , . Зазначимо, що випадкові події , , є незалежні та сумісні. Визначимо ймовірності того, що усі взяті 3 деталі браковані, тобто з першого ящика навмання взята бракована деталь, з другого, і з третього. Інакше кажучі, кількість стандартних деталей дорівнює нулю: . Аналогічно обчислимо всі інші ймовірності з використанням алгебри подій і теорем суми та добутку ймовірностей:
. Занесемо одержані значення в таблицю та перевіримо обчислення за властивістю ряду розподілу:
Будуємо многокутник розподілу (рисунок 7):
Рисунок 7
Обчислимо інтегральну функцію розподілу за визначенням згідно з властивостями. 1) ; 2) ; 3) 4) 5) = = + Інтегральна функція має вигляд: Графік функції зображено на рисунку 8.
Рисунок 8
Обчислюємо числові характеристики: , , , .
Приклад 6. Партія з 10 деталей містить 8 стандартних. Навмання відібрані дві деталі. ДВВ Х − число стандартних деталей серед двох вилучених. 1. Знайти ряд розподілу дискретної випадкової величини Х. 2. Побудувати многокутник ймовірностей. 3. Знайти функцію розподілу та накреслити її графік. 4. Обчислити , , , . Розв'язання: Зробимо аналіз задачі та визначимо, які конкретні значення може набути ДВВ Х . Середдвох навмання взятих деталей число стандартних може бути 0, 1, 2.
У табличнiй формi закон розподiлу цієї дискретної випадкової величини можна записати:
Обчислимо ймовiрностi . Імовірності цих подій визначаємо за класичним означенням: . Аналогічно обчислимо всі інші ймовірності: ,
.
Занесемо одержані значення в таблицю та перевіримо обчислення за властивістю ряду розподілу:
Будуємо многокутник розподілу (рисунок 9):
Рисунок 9
Обчислимо інтегральну функцію розподілу за визначенням згідно з властивостями. 1) ; 2) ; 3) 4) = + = Інтегральна функція має вигляд:
Графік функції зображено на рисунку 10. Рисунок 10 Обчислюємо числові характеристики: , , , тоді .
ЗАДАЧІ 5. Знайти ряд розподілу дискретної випадкової величини Х. 6. Побудувати многокутник ймовірностей. 7. Знайти функцію розподілу та накреслити її графік. 8. Обчислити , , , .
2.1. Є три ящики. В першому ящику знаходиться 7 стандартних і 3 браковані деталі, в другому ящику – 3 стандартних і 7 бракованих, в третьому – 5 стандартних і 5 бракованих. З кожного ящика навмання беруть по одній деталі. Дискретна випадкова величина Х – число стандартних деталей серед трьох вилучених. 2.2. Прилад складається з чотирьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність того, що перший елемент вийде з ладу, дорівнює 0,2, для другого, третього і четвертого елементів ці ймовірності відповідно дорівнюють 0,1; 0,4; 0,3. ДВВ Х – число елементів, що вийдуть з ладу в даний момент часу.
2.3. В урні знаходиться 2 стандартні і 5 бракованих деталей. Деталі з урни вилучаються по одній без повертання. ДВВ Х – число бракованих деталей серед трьох вилучених навмання. 2.4. Маємо дві урни. В першій знаходиться 6 чорних і 3 білих кулі, в другій – 4 білих і 5 чорних куль. З кожної урни навмання беруть по 2 кулі. ДВВ Х – число чорних куль серед чотирьох вилучених. 2.5. В ящику 13 деталей, 3 з них браковані. Навмання беруть 4 деталі. ДВВ Х – число бракованих деталей із чотирьох вилучених. 2.6. Проводяться послідовні незалежні випробування чотирьох приладів на надійність. Ймовірність того, що перший прилад буде надійним при випробуванні, дорівнює 0,9, для другого, третього і четвертого відповідно – 0,8; 0,7; 0,6. ДВВ Х – число приладів, що надійні. 2.7. В урні знаходиться 5 червоних, 5 синіх, 6 жовтих і 7 білих куль. Навмання беруть п’ять куль. ДВВ Х – число кольорових куль серед п’яти вилучених. 2.8. В ящику міститься 10 стандартних і 4 бракованих деталі. Навмання беруть 4 деталі. ДВВ Х – число стандартних деталей серед чотирьох взятих навмання. 2.9. Робітник обслуговує 3 верстати-автомати. Ймовірність того, що протягом години перший верстат вимагатиме уваги робітника, постійна і дорівнює 0,01, для другого і третього верстату – 0,02 і 0,03 відповідно. ДВВ Х – число верстатів, що вимагатимуть уваги робітника. 2.10. В ящику знаходиться 7 стандартних і 4 бракованих деталі. Навмання беруть п’ять деталей. ДВВ Х – число стандартних деталей серед п’яти вилучених. 2.11. В ящику міститься 13 стандартних і 3 бракованих деталі. Навмання беруть 3 деталі. ДВВ Х – число стандартних деталей серед трьох відібраних. 2.12. Три стрільці зробили по одному пострілу по одній мішені. Ймовірність влучення при одному пострілу для першого, другого і третього відповідно дорівнюють 0,95; 0,85; 0,75. ДВВ Х – число влучень у мішень. 2.13. Маємо 2 ящики. В першому ящику міститься 5 стандартних і 5 бракованих деталей, в другому – 8 стандартних і 2 браковані. З кожного ящика навмання беруть по 2 деталі. ДВВ Х – число стандартних деталей серед чотирьох вилучених. 2.14. Робітник обслуговує 5 незалежно працюючих верстатів. Ймовірність того, що за зміну верстат не вимагатиме наладки для першого дорівнює 0,95, для другого – 0,85, для третього – 0,8, для четвертого – 0,75 і п’ятого − 0,7. ДВВ Х – кількість верстатів, які не вимагатимуть наладки за зміну. 2.15. В ящику міститься 5 деталей 1 сорту, 4 деталі 2 сорту і 3 браковані. Навмання беруть чотири деталі. ДВВ Х – число придатних деталей серед чотирьох вилучених. 2.16.В ящику міститься 6 деталей 1 сорту, 2 деталі другого сорту і 3 браковані. Навмання беруть чотири деталі. ДВВ Х – число придатних деталей серед чотирьох вилучених. 2.17. Маємо 4 урни. В першій та другій урні міститься по 7 червоних та 3 синіх кулі, в третій – 5 червоних та 5 синіх, а в четвертій – 3 червоні та 7 синіх. З кожної урни навмання беруть по одній кулі. ДВВ Х – число червоних куль серед вилучених. 2.18.Чотири стрільці зробили по одному пострілу по одній мішені. Відомі ймовірності поразки мішені при одному пострілі для кожного стрільця, які відповідно дорівнюють 0,95; 0,9; 0,85; 0,8. ДВВ Х – число влучень у мішень. 2.19.В ящику знаходиться 7 стандартних і 4 бракованих деталі. Деталі з ящика вилучаються по одній без повертання. ДВВ Х – число стандартних деталей серед трьох вилучених навмання. 2.20. В ящику знаходиться 6 стандартних і 3 бракованих деталі. Навмання беруть чотири деталі. ДВВ Х – число стандартних деталей серед чотирьох вилучених. 2.21.Відомо, що при виробництві однієї деталі ймовірність допустити брак дорівнює для першого робітника 0,1, для другого – 0,05. Навмання беруть дві деталі, виготовлені першим робітником і одну деталь – другим. ДВВ Х – число придатних деталей серед трьох навмання взятих. 2.22. В ящику міститься 4 деталі 1 сорту, 2 деталі другого сорту і 2 браковані. Навмання беруть чотири деталі. ДВВ Х – число придатних деталей серед чотирьох вилучених. 2.23.Три стрільці зробили по одному пострілу по одній мішені. Відомі ймовірності попадання в мішень при одному пострілі для кожного стрільця, які відповідно дорівнюють 0,95; 0,9; 0,8. ДВВ Х – число влучень у мішень. 2.24.Робітник обслуговує чотири незалежно працюючих верстати. Ймовірність того, що за зміну верстат вимагатиме наладки для першого дорівнює 0,5, для другого – 0,3, для третього – 0,1, для четвертого – 0,05. ДВВ Х – кількість верстатів, які не вимагатимуть наладки за зміну. 2.25. Прилад складається з чотирьох незалежно працюючих елементів. Ймовірність того, що перший елемент працює в даний момент часу, дорівнює 0,8, для другого, третього і четвертого елементів ці ймовірності відповідно дорівнюють 0,9; 0,7; 0,6. ДВВ Х – число елементів, які працюють на даний момент часу.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|