 |
|
Завдання 6. Ймовірність попадання випадкової величини
У заданий інтервал
Приклад 10. Знайти ймовірність попадання неперервної випадкової величини в задані інтервали 
та 
, якщо вона розподілена за законом:
1. Рівномірний розподіл на інтервалі 
.
2. Показниковий розподіл з математичним сподіванням, що дорівнює 
.
3. Нормальний розподіл з математичним сподіванням рівним 
і середнім квадратичним відхиленням 
.
4. Записати вигляд функції розподілу кожного закону та визначити числові характеристики 
, 
, 
, 
, 
.
| а | b | c | d | m |
Розв’язання: 1) Для визначення рівномірного закону розподілу використаємо формулу
.
Тоді
.
Отже, функція розподілу буде мати вигляд:
.
Визначимо числові характеристики:
,
,
,
.
Для обчислення ймовірності попадання в інтервал 
використаємо співвідношення (4)
.
Маємо 
.
Для обчислення ймовірності попадання в інтервал 
врахуємо, що 
, тобто 
. Тоді
.
Отже, 
.
2) Показниковий (експоненціальний) закон розподілу з 
і 
буде мати вигляд:
.
Отже, функція розподілу 
запишеться у вигляді:
.
Числові характеристики будуть мати наступні значення:
(за умовою),
,
,
.
Для обчислення ймовірності попадання в інтервал використаємо співвідношення (4). Тоді
.
Враховуючи, що інтервал , маємо
,
.
3) За умовою НВВ розподілена за нормальним законом з 
і 
. Тоді функцію щільності розподілу можна записати у вигляді:
, 
, .
А функцію розподілу у вигляді 
.
Тоді
.
Числові характеристики: 
, 
.
Ймовірність попадання в інтервал обчислюється за формулою
,
де 
− функція Лапласа, значення якої наведені в таблицях (додаток 2, [8]). Отже маємо,
,
.
Задачі
Знайти ймовірність попадання неперервної випадкової величини в заданий інтервал 
, якщо вона розподілена за законом:
1. Рівномірний розподіл на інтервалі .
2. Показниковий розподіл з математичним сподіванням, що дорівнює .
3. Нормальний розподіл з математичним сподіванням рівним і середнім квадратичним відхиленням .
4. Записати вигляд функції розподілу кожного закону та визначити числові характеристики , , , , .
| № варіанта | а | b | c | d |
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| 4. | ||||
| 5. | ||||
| 6. | ||||
| 7. | ||||
| 8. | ||||
| 9. | ||||
| 10. | ||||
| 11. | ||||
| 12. | ||||
| 13. | ||||
| 14. | ||||
| 15. | ||||
| 16. | ||||
| 17. | ||||
| 18. | ||||
| 19. | ||||
| 20. | ||||
| 21. | ||||
| 22. | ||||
| 23. | ||||
| 24. | ||||
| 25. |
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1) Вища математика: Зб. задач: У 2 ч. Ч. 2: Звичайні диференціальні рівняння. Операційне числення. Ряди. Рівняння мат. фізики. Стійкість за Ляпуновим. Елементи теорії ймовірностей і мат. статистики. Методи оптимізації і задачі керування. Варіаційне числення. Числові методи: Навч. посібник для студ. вищ. техн. навч. закл. / П.П. Овчинников, П.С. Кропив’янський, С.П. Полушкін та ін.; За заг. ред. д-ра техн. наук, проф. П.П. Овчинникова. – 2-ге вид., стереотип. – К.: Техніка, 2004. – 376 с.
2) Жлуктенко В.І., Наконечний С.І., Савіна С.С. Теорія імовірностей і математична статистика: Навч.-метод. посібник: У 2-х ч. − Ч.1. Теорія імовірностей. − К.: КНЕУ, 2000. – 346 с.
3) Турчин В.М. Теорія ймовірностей. Основні поняття, приклади, задачі.: Навчальний посібник. − К.: А.С.К., 2004. − 208 с.
4) Черняк О.І., Обушна О.М., Ставіцкий А.В. Теорія ймовірностей та математична статистика. Збірник задач: Навч. посіб. – 2-ге вид., випр. − К.: Знання, 2002. − 199 с.
5) Практикум з теорії ймовірностей та математичної статистики: Навч. посібник / Р.К. Чорней, О.Ю. Дюженкова, О.Б. Жильцов та ін.; За ред. Р.К. Чорнея. − К.: МАУП, 2005. – 328 с.
6) Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.2: Учебное пособие для втузов. – 13-е узд. – М.: Наука, 1985. − 560 с.
7) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для студентов вузов. – 7-е изд. − М.: Высш. шк.., 2000. − 480 с.
8) Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учебное пособие для студентов вузов. – 7-е изд. − М.: Высш. шк., 2000. – 400 с.
Зміст
| Тема 1. Випадкові величини. Закони розподілу їх ймовірностей. | 3 |
| 1.1. Завдання 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини. | 12 |
| 1.2. Завдання 2. Числові характеристики дискретної випадкової величини. | 17 |
| 1.3. Завдання 3. Функції розподілу та щільності неперервної випадкової величини. | 26 |
| 1.4. Завдання 4. Числові характеристики неперервної випадкової величини. | 31 |
| Тема 2. Найбільш поширені закони розподілу. | 37 |
| 2.1. Завдання 5. Біноміальний закон розподілу. | 41 |
| 2.2. Завдання 6. Ймовірність попадання випадкової величини у заданий інтервал. | 45 |
| Список літератури | 49 |