Главная | Обратная связь

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Условной вероятностью события В при условии ,что произошло событие А ,называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события А,причем P(A) ,обозначается символом P(B/A).

Событие А называется независимым от события В,если его условная вероятность рана безусловной,т.е если выполняется равенство

P(A/B)=P(A).

Если событие А и В независимы, то вероятность произведения А и В равна вероятности произведения этих событий: Р(А×В)=Р(А)×Р(В)

Доказательство. Пусть n общее число исходов испытания, число благоприятствующих событий для А m₁, для В m₂, тогда P(A)=m₁/n, P(B)=m₂/n. Так как событие А и В не зависимы, то множество их благоприятных исходов не пересекаются.

P(A×B)=(m₁×m₂)/n², так как произведено два испытания. P(A×B)=m₁/n·m₂/n=P(A)×P(B).

Если событие А и В зависимы, то вероятность P(A×B)=P(A)×P(B/A)=P(B)×P(A/B).

Теорема для любых трех зависимых событий выглядит сложнее: P(A×B×C)=P(A)×P(B/A)×P(C/A×B)

Полная группа событий. Формула полной вероятности.

Пусть дана полная группа несовместных событий (H₁,H₂ … H_n) которую будем называть гипотезами. Пусть событие А происходит вместе с одной из гипотез, следовательно событие А можно представить в следующем виде:
A=H₁×A+H₂×A+ H₃×A+ …+H_n×A Þ P(A)= ; - полная группа.

Формула Байеса.

Пусть дана полная группа несовместных событий (гипотез). Событие А происходит с одной из гипотез, тогда по формуле полной вероятности P(A)= . Пусть событие А уже произошло, очевидно что, вероятности каждой гипотезы изменяется и есть смысл пересчитать условные вероятности (P(H_i)/A). Условная вероятность i-й гипотезы при условии, что событие А уже наступило. Найдем вероятность произведения A×H_i(зависимое):
P(A×H_i)=P(H_i)×P(A/H_i)=P(A)×P(H_i/A). Из последнего равенства следует:
- формула Байеса.

Замечание: Знаменатель в формуле Байеса – полная вероятность события А, числитель – соответствующее слагаемое из формулы полной вероятности.

Формула Бернули.