Главная | Обратная связь

Площадь криволинейной трапеции

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ

Пусть функция у =f(x) определена на отрезке [a;b], a<b.

Выполняются следующие действия.

1. Отрезок[a;b]разбиваетсяточками x₀=a,x₁, x₂, …,x_n= b (x₀<x₁<x₂<…<x_n) на nчастичных отрезков[x₀;x₁], [x₁;x₂],…, [x_n-1;x_n]:

2. В каждом частичном отрезке[x_i–1;x_i], выбирается точка с_i [x_i–1;x_i] и вычисляется в ней значение функции f(с_i).

3. Находятся произведения f(с_i)·∆x_i, где ∆x_i=x_i–x_i–1 –длина частичного отрезка.

4. Составляется сумма

S_n = f(с₁)·∆x₁+f(с₂)·∆x₂+…+f(с_n)·∆x_n= . (1)

Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции у =f(x) на отрезке [a;b].

Пусть λ – длина наибольшего частичного отрезка:

, .

5. Находится предел интегральной суммы (1) при , так что .

Если

,

который не зависит ни от способа разбиения [a;b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I называется определенным интегралом от функции у =f(x) на [a;b]:

,(2)

где aи b – нижний и верхний пределы интегрирования; f(x) – подынтегральная функция; f(x)dx–подынтегральное выражение;x– переменная интегрирования; [a;b] – область интегрирования.

• Функция у =f(x), для которой на [a;b] существует определенный интеграл

,

называется интегрируемой на этом отрезке.

Теорема 1.(Коши)Если f(x) С[a;b], то

.

^{_______________________________}

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ И ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Площадь криволинейной трапеции

Пусть f(x) С[a;b], f(x) ≥0.

Фигура, ограниченная сверху графиком функцииу =f(x), снизу – осьюОх, сбоку – прямыми x= a, x= b, называется криволинейной трапецией.

Необходимо найти площадь этой трапеции.

Произведение

f(с_i)·∆x_i

равно площади прямоугольника с основанием ∆x_i=x_i–x_i–1 и высотой f(с_i). Сумма таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади криволинейной трапеции:

.

Если , то :

или

.

Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции(геометрический смысл определенного интеграла).