ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Теорема 1.Еслиf(x)
Док.▼ Рассмотрим разбиение отрезка [a;b] на частичные отрезки. Также рассмотрим равенство F(b) –F(a) =(F(xn) – F(xn–1)) +(F(xn–1) – F(xn–2)) +… + (F(x2) –F(x1)) + (F(x1) –F(x0)). Преобразуем каждую разность в соответствии с теоремой Лагранжа (если F(x) F(b) –F(a) = Fʹ(с)(b – a)). Получим F(b) –F(a)= Fʹ(сn)(xn –xn–1)+ Fʹ(сn–1)(xn–1 –xn–2)+ …+ Fʹ(с2)(x2 –x1) + Fʹ(с1)(x1 –x0) = = т.е.
где сi Переходя к пределу при или
▲ Выражение (1) называется формулой Ньютона-Лейбница. Пример 1.Вычислить Решение▼
▲
4. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Свойства определенного интеграла. 1. 2. 3. Док.▼
▲ 4. (Свойство аддитивности). Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a<с <b, то
Док.▼ Пусть точка сбудет точкой деления при разбиении [a;b] на частичные отрезки (пусть с= xm). Тогда интегральная сумма может быть представлена в виде двух сумм:
Каждая из сумм в выражении (2) является интегральной для отрезков [a;b], [a;с], [с;b] соответственно. Переходя к пределу в выражении (2) при ▲ Свойство аддитивности справедливо при любом расположении точек a, b, с. Например, если a<b<с, то
Отсюда
(вытекает из свойств 4 и 3). 5.(Теорема о среднем). Если f(x)
Док.▼ По формуле Ньютона-Лейбница:
где Fʹ(x) =f(x). Применяем к разности F(b) –F(a) теорему Лагранжа:
▲ Свойство 5 при f(x) ≥0 имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некоторомс
Число называется средним значением функции на [a;b]. 6. Если f(x) сохраняет знак на [a;b], где a<b, то интеграл Док.▼ Пусть f(x) ≥0. По теореме о среднем
где с Так как f(x) ≥0
При f(x) ≤0 доказательство аналогично. ▲ 7. Неравенства между непрерывными функциями на [a;b] (a<b) можно интегрировать. Если f1(x) ≤f2(x), x
(Дифференцировать неравенства нельзя). 8. (Оценка интеграла). Если
Док.▼ m≤ f(x) ≤ M (свойство 7). Учитывая, что
следует выражение (3). ▲ 9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:
Док.▼ Применяем свойство 7 к известным неравенствам получаем
В соответствии со свойствами модуля
▲ 10. Производная от определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом:
Док.▼По формуле Ньютона-Лейбница:
Следовательно
▲ ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|