Определение усилий в стержнях, вызванных действием внешней нагрузки

Стр 1 из 2Следующая ⇒

РАСЧЕТЫ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ

Отчет по расчетно-проектировочной работе №2

по дисциплине сопротивление материалов

Выполнил студент группы СМ-14-2 П.А.Чернышев

Принял В.П.Ященко

Иркутск 2015

Цель работы:

1) Определить усилия в стержнях, вызванные действием внешней нагрузки;

2) Из расчета на прочность по допустимым напряжениям определить безопасные размеры круглого поперечного сечения стержней (d₁ и d₂);

3) Произвести деформационную проверку результатов;

4) Определить усилия в стержнях, вызванные неточностью изготовления второго стержня (стержень короче расчетной длины);

5) Определить усилия в стержнях, вызванные нагревом первого стержня.

Дано: Абсолютно жесткая балка закреплена с помощью неподвижного цилиндрического шарнира и двух стержней. Длина 1-го стержня l₁ = 2 м, длина 2-го стержня l₂ = 1.8 м. Угол между 1-м стержнем и балкой равен β = 30^о, между 2-м стержнем и балкой равен α = 45^о. Расстояния a, b и c равны соответственно 0.9 м, 0.7 м и 1.2 м. Площади стержней А₁/ А₂ = n = 2. Сила F равна 35 кН. Также действует распределенная нагрузка интенсивностью q = 40 кН/м. (см. рисунок 1 в приложении А).

Данные по материалу:

1 стержень – латунь, модуль Юнга E₁ = 10⁵ МПа, так как материал – пластичный, то σ_u – не определен, следовательно, необходимо знать предел текучести, а он равен σ_y₁ = 150 МПа, нормативный коэффициент запаса прочности [n] = 1.5, коэффициент линейного расширения α₁ = 165*10^-7 1/град;

2 стержень – сталь, модуль Юнга E₂ = 2*10⁵ МПа, так, как и этот материал – пластичный, то σ_u – также не определен, следовательно, также необходимо знать предел текучести, а для данной марки стали он равен σ_y₂ = 240 МПа, нормативный коэффициент запаса прочности [n] = 1.5, коэффициент линейного расширения α₂ = 125*10^-7 1/град;

Неточность изготовления 2-го стержня δ₂ = 0.5 мм (стержень короче расчетной длины);

Изменение температуры 1-го стержня Δt₁ = 30 K (нагрев).

Определение усилий в стержнях, вызванных действием внешней нагрузки

Для начала сделаем следующее: отметим на рисунке 1 (приложение А) точки B, C и D так, что BC = a и CD = b + c. Следовательно, длина всей балки будет равна BD. Это понадобится для удобства дальнейшего решения задачи (особенно для составления плана перемещений).

Итак, сперва определим, что происходит с каждым из стержней. Для этого посчитаем моменты сил относительно неподвижной опоры B для силы F и для силы интенсивности Q (Q = q*a):

ΣM_B^F = - F*(a + b) = - 35*1.6 = - 56 кН*м (балка стремится повернуться по часовой стрелке)

ΣM_B^Q = + Q* = q*a*a/2 = 40*0.9*0.9/2 = + 16.2 кН*м (балка стремится повернуться против часовой стрелки)

Так как |M_B^F| > |M_B^Q|, то в итоге балка будет стремиться повернуться по часовой стрелке, следовательно, стержень 1 будет испытывать растяжение, и стержень 2 – сжатие.

Далее необходимо составить план сил(см. рисунок 2 в приложении А).

И уже после этого, составим, соответственно, уравнения статики для данной системы:

ΣX_i = 0: H_B – N₁*cosβ + N₂*cosα = 0 (1)

ΣY_i = 0: - F + R_B – Q + N₁*sinβ + N₂*sinα = 0 (2)

ΣM_B = 0: - F*(a + b) + N₁*(a + b + c)*sinβ – Q*a/2 + N₂*a*sinα = 0

Выразим из уравнения моментов N₁. Для этого подставим уже известные значения сил F и Q:

-35*(0.9 + 0.7) + N₁*(0.9 + 0.7 + 1.2)*sin30^o – 36*0.9/2 + N₂*0.9*sin45^o = 0

N₁*(0.9 + 0.7 + 1.2)*sin30^o = 35*1.6 + 36*0.9/2 - N₂*0.9*sin45^o

N₁ = (35*1.6 + 36*0.9/2 - N₂*0.9*sin45^o)/ (2.8*sin30^o)

N₁ = (72.2 - N₂*0.636)/1.4

Отсюда N₁ = 51.57 – 0.45* N₂(3)

Таким образом, мы имеем дело со статически неопределимой системой уравнений, где количество неизвестных усилий m = 4 (H_B, R_B, N₁ и N₂) и количество уравнений равновесия n = 3. Следовательно, степень статической неопределимости данной системы равна S = m – n = 4 – 3 = 1. Это означает, что такая система уравнений один раз статически неопределима.

Чтобы решить эту систему нужно для начала составить план перемещений (см. рисунок 3 в приложении А).

1 стержень: деформация Δl₁ = DD₂ – удлинение стержня

2 стержень: деформация Δl₂ = CC₂ – укорочение стержня

Геометрическая часть задачи:

Рассмотрим треугольники BCC₁ и BDD₁: так как CC₁ || DD₁ и угол DBD₁ – общий, то в треугольнике BDD₁ углы BCC₁ и BC₁C будут равны соответственно углам BDD₁ и BD₁D в треугольнике BDD₁. Следовательно, треугольники BCC₁ и BDD₁– подобны(по II признаку подобия).