 |
|
Смысл дифференциального уравнения.
Каждое из рассматриваемых здесь
дифференциальных уравнений выражает определенный закон сохранения. В каждом
уравнении в качестве зависимой переменной используется некоторая физическая величина и
отражен баланс между различными факторами, влияющими на эту переменную. Обычно
зависимыми переменными в этих дифференциальных уравнениях являются удельные
свойства, т. е. свойства, отнесенные к единице массы. Пусть J — поток некоторой зависимой переменной
Ф. Рассмотрим контрольный объем, стороны которого равны dx, dy и
dz. Поток, втекающий через одну поверхность площадью dydz, обозначим Jx (Jх —
составляющая вектора J), а поток, вытекающий через противоположную поверхность,
обозначим J x + (дJ x /дx)dx. Таким образом, чистое истечение через площадку поверхности
равно (дJ x /дx)dxdydz. Рассматривая аналогичным образом потоки в направлениях у и z, а
также замечая, что dxdydz — величина рассматриваемого объема, получаем чистое истечение
на единицу объема.
РИС 1 2
Некоторые дифференциальные уравнения и обощенное дифференциальное уравнение.
Сохранение химической компоненты. Пусть m i — массовая концентрация химической компоненты. д(ρm i )/дt — скорость изменения массы компоненты в единице объема; ρum i —
конвективный поток компоненты, т. е. поток, переносимый общим полем течения ρu; J i —
диффузионный поток, обусловленный чаще всего градиентом массовой концентрации m i .
Дивергенция этих двух потоков (конвективного и диффузионного) составляет второй член
дифференциального уравнения. Величина R i в правой части обозначает скорость
образования компоненты в единице объема, обусловленного химической реакцией. Заметим,
что в зависимости от того, что происходит в действительности — образование компоненты
или ее уничтожение, Ri может быть положительной или отрицательной. Г i — коэффициент диффузии.
РИС 3
Уравнение энергии. h — удельная энтальпия; k — коэффициент теплопроводности; Т—температура; S h —
объемная скорость выделения теплоты. Член div(k grad Т) описывает влияние переноса
теплоты теплопроводностью внутри жидкости согласно закона Фурье, с — удельная теплоемкость при постоянном давлении.
РИС 4
Уравнение количества движения. Для ньютоновской жидкости дифференциальное
уравнение, выражающее сохранение количества движения в данном направлении, можно
записать аналогичным образом, где μ — коэффициент вязкости; р — давление; B x — х-составляющая объемной силы
(приложенной к единице объема); V x — дополнительные к div(μ grad u) вязкие члены.
РИС 5
Уравнение
Для
Кинетической
Энергии
турбулентности.В
широко
распространенной в настоящее время модели турбулентности, в качестве одного из уравнений входит уравнение для кинетической энергии k
пульсационного движения, имеющее вид
РИС 6
где Г k — коэффициент диффузии k; G — скорость генерации энергии турбулентности; έ —
скорость диссипации. В целом величина G − ρε — источниковый член уравнения.
Аналогичное дифференциальное уравнение записывается для переменной έ.
Обобщенное дифференциальное уравнение. Краткое рассмотрение некоторых
дифференциальных уравнений, описывающих теплообмен и гидродинамику, показывает, что
интересующие нас зависимые переменные подчиняются обобщенному закону сохранения..
Если обозначить зависимую переменную Ф, то обобщенное дифференциальное уравнение
примет вид
РИС 7
где Г — коэффициент диффузии; S — источниковый член. Конкретный вид Г и S зависит от
смысла переменной Ф. В обобщенное дифференциальное уравнение входят четыре члена: нестационарный,
конвективный, диффузионный и источниковый. Зависимая переменная Ф обозначает
различные величины, такие, как массовая концентрация химической компоненты, энтальпия
или температура, составляющая скорости, кинетическая энергия турбулентности или
масштаб турбулентности. При этом коэффициенту диффузии Г и источниковому члену S
следует придать соответствующий каждой из этих переменных смысл.
Эти уравнения можно
представить также в тензорной форме в декартовой системе координат:
РИС 8
где нижний индекс j в соответствии с тремя пространственными координатами принимает
значения 1, 2, 3.