Главная | Обратная связь

Статистическое приложение: коэффициент корреляции

Стандартные оценки

Самая простая формула для вычисления коэффициента корреляции между двумя выборками оценок задается с помощью стандартных оценок. Эта формула дает также наиболее ясное представление о значении коэффициента корреляции. Вот почему в этом приложении вводится понятие стандартной оценки. Кроме того, стандартные оценки, полученные в различных тестах, можно сравнить между собой. Так, если вы скажете кому-либо, что по истории вы получили тестовую оценку 38, а по английскому языку — 221, он мало что поймет. Однако этот «кто-то», если он читал данное приложение, получит точную информацию из сообщения, что ваша стандартная оценка по истории ранка +2,1, а по английскому языку —1,3.

Вы уже знаете, что (первичная) тестовая оценка какого-либо испытуемого в группе обозначается через X. Тестовая же оценка данного конкретного испытуемого обозначается с помощью индекса. Так, например, тестовая оценка испытуемого 3 записывается как Х₃. Вы также знакомы с отклонением оценки от среднего х=Х—М_х. Отклонение оценки испытуемого 3 записывается как x_з=Х_з—М_х. Если отклонение оценки испытуемого разделить на стандартное отклонение σ_х распределения оценок, то оно преобразуется в стандартную оценку (или z-оценку).

Допустим, что испытуемый 3 имеет (первичную) тестовую оценку 60. Средняя оценка для группы равна 49 и стандартное отклонение оценок равно 12, т. е. Х₃=60, М_х=49, σ_х=12. Прежде всего x_з=60—49=+11. Давайте теперь вычислим z_x,т. е. найдем стандартную оценку для испытуемого 3:

z_x=x/σ_х. (9.1)

Следовательно,

Поскольку стандартные оценки редко имеют величину больше +2 и меньше —2, то вы узнаете, что оценка именно этого испытуемого лежит примерно посередине между средней и наивысшей оценкой в группе.

Рабочие оценки, такие, например, как оценки качества работы контролеров, которые необходимо скоррелировать с тестовыми оценками, обычно обозначаются символом Υ вместо X. Тогда отклонение оценки обозначается через у, а стандартная рабочая оценка — z_Y. Итак, мы говорим о нахождении корреляции между Xи Υ тогда, когда каждый испытуемый в группе имеет оценку Xи оценку Υ. Коэффициент корреляции обозначается символом r_XY.

Вычисление r_XY

Для вычисления коэффициента оды снова воспользуемся ранее приводившимися данными. Возьмем данные для условия А как тестовые оценки 17 испытуемых, а данные для условия Б как рабочие оценки для тех же испытуемых. Однако чтобы подчеркнуть относительный характер стандартных оценок, умножим каждое значение для условия Б на 10. К счастью, мы уже сделали много вычислений, необходимых для (получения r_XY· Для тестовых оценок «мы просто используем полученные ранее — среднее и стандартные отклонения. Для условия Б полученные — среднее и стандартные отклонения нужно просто умножить на 10.

Вы видите, что тестовая оценка (X) первого испытуемого S₁ была 223, а его рабочая оценка —1810. Сдвинувшись по этой строке от обоих концов к середине, мы обнаружим, что xравно +38 (т. е. 223—185) и у равно +190 (т. е. 1810—1620). Далее, видим, что z_Xравно 2,054 (т. е. +38, деленное на 18,5), az_yравно + 1,195 (т. е. 190, деленное на 159). И наконец, в сред-

Тестовые оценки помещены в приводимой ниже таблице во втором столбце слева, а рабочие оценки — во втором столбце справа. Они обозначены как Xи У соответственно

Σz_xz_y = +7,336;

r_xy= +0,432.

нем столбце мы находим произведение z_xна z_y, которое равно +2,455.

Такие же вычисления, сделанные для остальных 16 испытуемых, заполняют всю остальную таблицу. Ниже этих данных приведены величины средних и стандартных отклонений. Еще ниже в центре дается сумма по столбцу z_xz_y, равная +7,336. Это число, деленное на число испытуемых — 17, и дает величину коэффициента корреляции, равную +0,432.

В случае, если вам не хочется запоминать все эти термины, вы можете обратиться к следующей формуле для расчета коэффициента корреляции:

(9.2)

или для наших данных