Главная | Обратная связь

Диаграмма разброса (корреляционное поле)

На рис. 9.4 показана диаграмма разброса, каждая точка которой представляет одного испытуемого. Значения шкал даны в единицах стандартных оценок г.

Рис. 9.4.Корреляционноеполе. Масштабыосейравныипредставленывединицахстандартныхоценок

При таких осях наклон линии предсказывания прямо показывает величину r_XY. В нашем случае r_XYравно +0,432. Это значение наклона линии: на каждое смешение на единицу вправо точки линии поднимаются вверх на 0,432 единицы. Так, если данный испытуемый имеем значение z_X, равное +1, то предсказываемое значение z_Xдля него равно +0,432. Таким образом, предсказываемая величина значительно ближе к среднему распределения, чем та величина, на основе которой делалось предсказание. Поэтому говорят, что предсказания стремятся (регрессируют) к среднему, и линия предсказания называется линией регрессии Xна Y. Более точно, это предсказание z_Yпо z_X.

Вы можете заметить, что линия предсказания проходит через пересечение точек z_X = 0 и z_Y = 0. Обе эти точки представляют средние значения соответствующих распределений. Это справедливо, независимо от значения величины r_XY. Если испытуемый оказывается в точке среднего по X, то наилучшим .предсказанием всегда будет среднее по Y. Далее видно, что если оценка будет выше среднего по X(положительное значение z_X), то предсказываемая оценка будет также выше среднего по Y(положительное значение z_Y). Точно так же для Xниже среднего значения предсказываемая оценка Yбудет ниже среднего значения по Y.

И наконец, чем выше величина r_XY. тем меньше регрессия предсказания. В случае полной корреляции линия предсказания будет иметь наклон +1. Так, если, например, z_Xравно +1,5, то предсказываемое z_Yтоже будет равно +1,5, а если z_Xравно —0,8, то z_Yтоже будет равно —0,8. При полной корреляции регрессия к среднему отсутствует. С другой стороны, если корреляция равна 0, то линия будет иметь нулевой наклон, т. е. она будет представлять собой горизонтальную линию. Она будет проходить на уровне z_Y=0, т. е. среднего значения по Y. Поэтому, какая бы ни была величина z_X, наилучшее предсказание всегда будет z_Y = 0. Следовательно, при нулевой корреляции все предсказываемые значения регрессируют к среднему.

Все это может быть представлено посредством следующей формулы:

(9.3)

Эта формула показывает, что стандартную оценку для выборки Yможно получить, умножив стандартную оценку для выборки Xна коэффициент корреляции между Xи Y. Например, для испытуемого, имеющего стандартную оценку z_X, равную +0,50 с коэффициентом корреляции 0,70, получим

Задача: Вычислите r_XY для данных в задаче, приведенной в статистическом приложении к главе 6. Используйте условие В для Xи условие Г для Y.

Ответ: r_XY= 0,576.

[1]Здесь и далее термином активный эксперимент обозначается эксперимент, в котором исследователь сам планирует и реализует условия независимой переменной. — Прим. ред.