Исходные данные для решения задачи

Ресурсы	Ткани
	I	II	III
Оборудование
Сырье
Электроэнергия

Цена за один метр ткани вида I равна 80 денежным единицам, II — 70 денежным единицам, III — 60 денежным единицам.

Необходимо определить, сколько метров ткани каждого вида следует выпустить, чтобы общая стоимость выпускаемой продукции была максимальной.

Составим модель задачи. Введем следующие обозначения. Неизвестными в задаче являются объемы выпуска ткани каждого вида:

х₁ – количество метров ткани вида I;

х₂ – количество метров ткани вида II;

х₃ – количество метров ткани вида III.

х_j ≥ T_j, ,

х_j ≥ 0.

С учетом имеющихся данных модель примет вид:

=80x₁+ 70х₂ + 60х₃→мах

Ограничения по ресурсам

Плановое задание

В результате решения задачи симплексным методом получен следующий оптимальный план: максимум общей стоимости продукции = 19075 при

х₁ = 112,5 м — оптимальный план выпуска ткани вида I;

x₂ = 70 м — оптимальный план выпуска ткани вида II;

х₃ = 86,25 м — оптимальный план выпуска ткани вида Ш.

Решение двойственной задачи получим с использованием теорем двойственности. Введем следующие обозначения:

у₁ — двойственная оценка ресурса «оборудование»;

у₂ — двойственная оценка ресурса «сырье»;

уз — двойственная оценка ресурса «электроэнергия»;

у₄ — двойственная оценка ткани вида I;

у₅ — двойственная оценка ткани вида II;

у₆ — двойственная оценка ткани вида III.

Модель двойственной задачи имеет вид:

g( ) = 780у₁+ 850у₂ + 790у₃ + 90у₄ + 70у₅ + 60у₆→ min

2у₁ + у₂ + 3у₃ + у₄ ≥ 80,

3у₁ + 4у₂ + 4у₃+ у₅ ≥ 70,

4у₁ + 5у₂ + 2у₃ + y₆≥ 60,

у_1,2,3≥ 0. у_4,5,6≤ 0.

Из соотношений второй теоремы двойственности вытекают следующие условия:

для каждого ресурса:

если то у_i=0,

если у_i>0, то ;

для задания по выпуску продукции:

если х_j > Т_j , то y_m+j= 0;

если у_m_+j< 0, то х_j = T_j . (3.12)

Для нашего примера в этих соотношениях m=3 (количество типов ресурсов).

Подставим значения x_i = 112,5, х₂ = 70 и x₃ = 86,25 в ограничения прямой задачи:

2 • 112,5 + 3 • 70 + 4 • 86,25 = 780,

112,5 + 4-70 + 5-86,25 = 823,75 < 850,

3 • 112,5 + 4-70 + 2 • 86,25 = 790,

112,5 > 90,

70 = 70,

86,25 > 60.

Суточные ресурсы по оборудованию и электроэнергии использованы полностью. Сырье используется не полностью, имеется остаток в размере 850 — 823,75 = 26,25 (кг). План выпуска по тканям вида I и III перевыполнен.

Из второй теоремы двойственности вытекает, что y₂, у₄ иу₆ равны нулю. Остается найти значения у₁, у₃ и у₅- Так как х₁, х₂ и х_з — больше нуля, то все три ограничения двойственной задачи выполняются как равенства:

2у₁ + у₂ + 3у₃ + у₄ = 80,

3у₁ + 4у₂ + 4у₃+ у₅ = 70,

4у₁ + 5у₂ + 2у₃ + y₆=60.

Учитывая, что у₂ = у₄ = у₆ = 0 имеем:

2у₁ + 3у₃ = 80,

3у₁ + 4у₃+ у₅ = 70,

4у₁ + 2у₃ =60.

откуда у₁= 2,5; у₃ = 25; у₅ = -37,5.

Подставив значения неизвестных в целевую функцию двойственной задачи, проверим, выполняется ли условие

для оптимального плана: g( ) =780*2,5 + 850*0+

+ 790*25 + 90*0 – 70*37,5 + 60*0 = 19075.

Условие первой теоремы двойственности выполняется, следовательно, рассмотренный план выпуска тканей и соответствующая ему система оценок ресурсов и продукции оптимальны.

Экономическое истолкование оценок есть интерпретация их общих экономико-математических свойств применительно к конкретному содержанию задачи. По условию (3.10) не использованный полностью в оптимальном плане ресурс получает нулевую оценку. Нулевая оценка ресурса свидетельствует о его недефицитности. Ресурс недефицитен не из-за его неограниченных запасов (они ограничены величиной b_i), а из-за невозможности его полного использования в оптимальном плане. Так как суммарный расход недефицитного ресурса меньше его общего количества, то план производства им не лимитируется. Данный ресурс не препятствует и дальше максимизировать целевую функцию f( ).

Ограничивают целевую функцию дефицитные ресурсы, в данном примере — оборудование и электроэнергия. Они полностью использованы в оптимальном плане. По условию (10) оценка таких ресурсов положительна (у₁ = 2,5; у₃ = 25).

Рассмотрим теперь понятие дефицитности продукции. По условию (3.12) нулевую оценку (у₄= 0, у₆ = 0) получает продукция, задания по выпуску которой в оптимальном плане перевыполняются. Очевидно, перевыполнение плана целесообразно по выгодной продукции (ткани I и III видов), т.е. такой, производство которой способствует достижению максимума критерия оптимальности. Размеры производства такой выгодной продукции определяются не величиной задания на выпуск (T_j) (в оптимальном плане они перекрыты), а ограниченностью дефицитных ресурсов. Эту продукцию выпускают как можно больше, пока хватит ресурсов.

Выпуск выгодной продукции лимитируется не только фактом ограниченности дефицитных ресурсов, но и тем, что часть дефицитных ресурсов требуется выделить на обеспечение выпуска невыгодной продукции в соответствии с плановыми заданиями. По условию (3.12) отрицательную оценку (у₅ = -37,5) получает продукция, задания по выпуску которой не перевыполняются. Так как по условию задачи (X_j > T_j) плановые задания должны быть обязательно выполнены, то продукция делится на выгодную (виды I и III ткани) и невыгодную (вид II ткани).

Если в ограничение двойственной задачи, относящееся к виду II ткани:

3у₁ + 4у₂ + 4у₃+ у₅ = 70

подставить полученные значения двойственных оценок, то получаем

3*2,5 + 4*0 + 4*25 - 37,5 = 70,

107,5 - 37,5 = 70,

т.е. стоимость ресурсов, затраченных на один метр ткани вида II, составляет 107,5 денежных единиц и это на 37,5 денежных единиц больше цены одного метра ткани этого вида. Таким образом, вид II ткани убыточен для фабрики: на каждом выпущенном метре ткани этого вида фабрика теряет 37,5 денежных единиц.

В соответствии с критерием оптимальности плана, в зависимости от того, перевыполняется план выпуска или нет, выпуск ткани вида II поглощает часть дефицитных ресурсов, чем сдерживает рост выпуска выгодной продукции, а тем самым и рост целевой функции.

Оценка ресурса показывает, на сколько изменится критерий оптимальности при изменении количества данного ресурса на единицу. Для недефицитного ресурса оценка равна нулю, поэтому изменение его величины не повлияет на критерий оптимальности. Дефицитность ресурса измеряется вкладом единицы ресурса в изменение целевой функции.

Влияние ограничений по выпуску продукции на критерий оптимальности противоположно влиянию ограничений по ресурсам. Если продукция невыгодна (вид II ткани, у₅ = -37,5), то увеличение плановых заданий по ее выпуску ведет к уменьшению выпуска выгодной продукции и ухудшает план. Наоборот, уменьшение плановых заданий по невыгодной продукции позволяет снизить ее выпуск, перебросить сэкономленные ресурсы на дополнительный сверхплановый выпуск выгодных видов продукции, что увеличивает значение целевой функции. Изменение плановых заданий по выгодной продукции не изменяет значения целевой функции.

Теперь рассмотрим анализ модели на чувствительность.

Пример 3. На основании информации, приведенной в табл. 3.3, составить план производства, максимизирующий объем прибыли.

Таблица 3.3

⇐ Предыдущая 1 2 345 Следующая ⇒