 |
|
Аналитическая геометрия
Линейная алгебра
1.Выполните действия над матрицами:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
2.Даны матрицы 
, 
. Найдите матрицу 
.
3.Даны матрицы 
и 
. Найдите 
; 
.
4.Найдите 
, если 
.
5.Если матрица 
имеет размерность 
, а матрица 
имеет размерность 
, то какова размерность матрицы 
?
6.Какова размерность матрицы , если размерность матрицы равна 
, а размерность матрицы равна 
.
7.Найдите обратную матрицу для 
.
8.При каком значении 
матрица 
не имеет обратной?
9.Если миноры матрицы 
, составленные из элементов, расположенных в левом верхнем углу последовательно равны 
, 
, 
, то чему равен ранг этой матрицы?
10.Приведите матрицы к ступенчатому виду: 1) 
; 2) 
. Чему равны ранги этих матриц?
11.Чему равен ранг матрицы: а) 
б) 
.
12.При каком значении ранг матрицы 
равен 1?
13.При каком значении ранг матрицы 
равен 2?
14.Вычислите минор и алгебраическое дополнение элемента 1) 
; 2) 
определителя 
.
15.Вычислите определитель: 1) 
2) 
; 3) 
; 4) 
.
16.Какой вид имеют основная и расширенная матрицы системы линейных уравнений: 
17.Решите систему линейных уравнений 
с помощью формул Крамера.
18.При каком значении система уравнений 
не имеет решений?
19.Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
1) Найдите ее решение с помощью формул Крамера.. 2) Решите систему методом Гаусса.
1) 
2) 
20.Исследуйте на совместность систему уравнений:
Векторная алгебра
21.Даны векторы 
, 
, 
. Найдите координаты векторов: 1) 
; 2) 
; 3) 
. Найдите 1) 
; 2) 
.
22.Даны векторы 
, 
, 
. Найдите длины векторов:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
23.Найдите координаты 
, если 
, 
. Найдите длину вектора 
.
24.Дана точка 
в декартовой системе координат. Найдите полярные координаты этой точки.
25.В полярной системе координат уравнение прямой, проходящей через полюс под углом 
к полярной оси, имеет вид…
26.В параллелограмме АВСD известны координаты его вершин 
. Найдите координаты вершины D.
27.Найдите косинус угла между векторами 
и 
:
1) 
, 
; 2) 
, 
;
28.Перпендикулярны ли векторы 
и 
: 
и 
?
29.При каком значении m векторы 
, 
перпендикулярны?
30.Даны точки 
, 
и вектор 
. Найдите векторное произведение векторов 
.
31.Найдите векторные произведения векторов и : 1) 
, 
.
32.Коллинеарны ли векторы: 1) 
, 
2) 
, 
.
33.Найдите смешанное произведение векторов 
, заданных своими координатами:
1) 
, 
, 
; 2) 
, 
, 
.
34.Проверьте, компланарны ли векторы , заданные своими координатами:
1) 
, 
, 
; 2) 
, 
, 
.
35.Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, если векторы приведены к одному началу.
36.Найдите площадь треугольника с вершинами в точках 
, 
.
37.Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах 
, 
, 
, если векторы приведены к одному началу.
Аналитическая геометрия
38.Даны точки 
и 
. Найдите координаты середины отрезка 
.
39.Даны точки 
и 
. Укажите координаты точки 
, симметричной точке относительно точки .
40.Даны координаты середин сторон треугольника 
. Найдите координаты вершин треугольника.
41.Укажите какие-нибудь две точки, принадлежащие прямой 
. В какой точке прямая пересекает ось 
?
42.Запишите уравнение прямой, проходящей через точки: 
, 
.
43.Дано общее уравнение прямой 
. Приведите его к уравнению в отрезках.
44.Даны координаты вершин треугольника 
. Запишите уравнение стороны 
и высоты, опущенной из точки на сторону 
.
45.Чему равен угловой коэффициент прямой 
. Найдите расстояние от начала координат до этой прямой. Постройте прямую.
46.Чему равен угловой коэффициент прямой 
и 
? Являются ли прямые и параллельными прямыми?
47.Запишите общее уравнение прямой, которая проходит через точку 
, если она параллельна прямой 
.
48.Чему равен угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой 
?
49.Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки 
, 
и 
. В какой точке плоскость пересекает ось ?
50.Какое уравнение имеет плоскость, проходящая через точку 
, и перпендикулярная вектору 
.
51.В какой точке плоскость 
пересекает ось ?
52.Найдите расстояние от точки 
до плоскости 
.
53.Найдите угол между прямой 
и плоскостью 
.
54.Как называются линии, заданные уравнениями: 1) 
; 2) 
;
3) 
. Постройте схематически эти линии.
55.Укажите координаты фокуса гиперболы 
.
56.Приведите уравнение гиперболы 
к каноническому виду.
57.Укажите координаты центра и радиус сферы 
.
58.Укажите координаты центра эллипсоида 
.