Тригонометрические ряды. Задача о разложении функции вСтр 1 из 3Следующая ⇒
ТригонометрическиЕ ряды В естествознании и технике часто приходится иметь дело с периодическими процессами: колебательными и вращательными движением различных деталей машин и приборов, периодическим движением небесных тел и элементарных частиц, акустическими и электромагнитными колебаниями. В математике все такие процессы описываются периодическими функциями. Простейшими периодическими функциями являются, как известно, тригонометрические функции sin(t) и cos(t). Одним из главных вопросов изучаемой темы является вопрос о представлении произвольной функции суммой гармонических функций (гармоник). В данной лекции начнем с рассмотрения общих вопросов, подробно изучим важнейшую для многих практических задач так называемую тригонометрическую систему функций и получающийся на ее основе тригонометрический ряд. Тригонометрические ряды. Задача о разложении функции в Напомним, что функция f(t) одной переменной t называется периодичной, если существует такое число Т ¹ 0, называемое ее периодом, что f(t + Т) = f(t) при всех значениях t ( –¥ < t < + ¥). Простейшими периодическими функциями являются, как известно, тригонометрические функции sin t и cos t с периодом Т = 2p. В физике простейшей периодической функцией обычно считают "гармонику" (или "гармоническое колебание") g(t) = A sin(wt + j), –¥ < t < + ¥. Так как g(t + Одним из основных вопросов данной лекции является вопрос о представлении произвольной периодической функции в виде суммы гармоник. Рассмотрим последовательность гармоник
Частотой k-й гармоники является Таким образом, частоты гармоник последовательности (1) являются кратными одному и тому же числу
Сумма, или, как говорят, суперпозиция бесконечного числа таких гармоник, есть сумма сходящегося ряда
Ясно, что эта сумма является периодической функцией с периодом Т = 2p. Равенство (2) можно преобразовать так. Учтем, что Aksin (kx + jk) = Aksinjk coskx + Akcosjk sinkx. Обозначим Тогда равенство (2) примет вид
Определение. Ряд в правой части равенства (3) называется тригонометрическим рядом, а само равенство (3), если оно имеет место при всех х, – разложением функции f(x) в тригонометрический ряд. Основной задачей данной темы является исследование вопросов: 1) Какую периодическую функцию с произвольным периодом можно разложить в тригонометрический ряд вида (3)? 2) Как найти коэффициенты разложения (3) а0, аk и bk, если это разложение возможно? 3) Какова зависимость между характером сходимости ряда (3) и свойствами функции f(x)? ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|